Inversione di matrici¶

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1. Proprietà della matrice inversa¶

Ricordiamo (si veda il capitolo sulle matrici) che una matrice quadrata \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\) è invertibile se esiste una matrice \(\boldsymbol A^{-1} \in \R^{n\times n}\) tale che \(\boldsymbol A\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A = \boldsymbol I\). Una matrice quadrata non invertibile si dice singolare.
In questo capitolo, \(\boldsymbol A'\) denota la trasposta di \(\boldsymbol A\), come nel capitolo sulle matrici.

Proposizione 1: Unicità dell'inversa

Sia \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\) invertibile. Se \(\boldsymbol B, \boldsymbol C \in \R^{n\times n}\) sono tali che \(\boldsymbol A\boldsymbol B = \boldsymbol B\boldsymbol A = \boldsymbol I\) e \(\boldsymbol A\boldsymbol C = \boldsymbol C\boldsymbol A = \boldsymbol I\), allora \(\boldsymbol B = \boldsymbol C\).

Dimostrazione

Usando la proprietà associativa del prodotto tra matrici, si ha:

\[ \boldsymbol B = \boldsymbol B\boldsymbol I = \boldsymbol B(\boldsymbol A\boldsymbol C) = (\boldsymbol B\boldsymbol A)\boldsymbol C = \boldsymbol I\boldsymbol C = \boldsymbol C. \]

□

Proposizione 2: Proprietà dell'inversa

Siano \(\boldsymbol A, \boldsymbol B \in \R^{n\times n}\) matrici invertibili. Allora:

\(\boldsymbol A^{-1}\) è invertibile e \((\boldsymbol A^{-1})^{-1} = \boldsymbol A\);
\(\boldsymbol A\boldsymbol B\) è invertibile e \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1} = \boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1}\);
\(\boldsymbol A'\) è invertibile e \((\boldsymbol A')^{-1} = (\boldsymbol A^{-1})'\);
\(\det(\boldsymbol A) \neq 0\) e \(\det(\boldsymbol A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(\boldsymbol A)}\).

Dimostrazione

Per l'unicità dell'inversa, in ciascun caso è sufficiente esibire una matrice che, moltiplicata a sinistra e a destra, dia \(\boldsymbol I\).

Da \(\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A = \boldsymbol A\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol I\) segue che la matrice \(\boldsymbol A\) è l'inversa di \(\boldsymbol A^{-1}\).
Usando la proprietà associativa:

\[ (\boldsymbol A\boldsymbol B)(\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1}) = \boldsymbol A(\boldsymbol B\boldsymbol B^{-1})\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol A\boldsymbol I\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol A\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol I, \]

\[ (\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1})(\boldsymbol A\boldsymbol B) = \boldsymbol B^{-1}(\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A)\boldsymbol B = \boldsymbol B^{-1}\boldsymbol I\boldsymbol B = \boldsymbol B^{-1}\boldsymbol B = \boldsymbol I. \]
Ricordiamo che \((\boldsymbol C\boldsymbol D)' = \boldsymbol D'\boldsymbol C'\) per ogni \(\boldsymbol C, \boldsymbol D \in \R^{n\times n}\): infatti, l'elemento \((i,j)\) di \((\boldsymbol C\boldsymbol D)'\) è l'elemento \((j,i)\) di \(\boldsymbol C\boldsymbol D\), cioè \(\sum_{k=1}^n c_{jk}d_{ki} = \sum_{k=1}^n d'_{ik}c'_{kj}\), che è l'elemento \((i,j)\) di \(\boldsymbol D'\boldsymbol C'\). Quindi, poiché \(\boldsymbol I' = \boldsymbol I\):

\[ \boldsymbol A'(\boldsymbol A^{-1})' = (\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A)' = \boldsymbol I' = \boldsymbol I, \qquad (\boldsymbol A^{-1})'\boldsymbol A' = (\boldsymbol A\boldsymbol A^{-1})' = \boldsymbol I' = \boldsymbol I. \]
Dalla regola del prodotto dei determinanti (teorema di Binet):

\[ \det(\boldsymbol A)\det(\boldsymbol A^{-1}) = \det(\boldsymbol A\boldsymbol A^{-1}) = \det(\boldsymbol I) = 1. \]

Quindi \(\det(\boldsymbol A)\neq 0\) e \(\det(\boldsymbol A^{-1}) = 1/\det(\boldsymbol A)\).

□

Si noti l'ordine invertito in \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1} = \boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1}\): poiché il prodotto tra matrici non è commutativo, in generale \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1} \neq \boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^{-1}\).
La proprietà 4 mostra che una matrice con \(\det(\boldsymbol A) = 0\) non può essere invertibile, cioè è singolare.

2. Calcolo dell'inversa¶

2.1 Metodo di Gauss–Jordan¶

Metodo di Gauss–Jordan (idea). Per calcolare \( \boldsymbol A^{-1} \), si costruisce la matrice aumentata

\[ \left(\, \boldsymbol A \mid \boldsymbol I \,\right) \]

e si applicano operazioni elementari di riga per trasformare il blocco sinistro nella matrice identità. Se si ottiene

\[ \left(\, \boldsymbol I \mid \boldsymbol B \,\right), \]

allora \( \boldsymbol B = \boldsymbol A^{-1} \).

Esempio 1: matrice inversa con il metodo di Gauss–Jordan

Consideriamo

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\[0.5ex] 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Calcoliamo la matrice inversa \(\boldsymbol A^{-1}\) con il metodo di Gauss–Jordan.

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \hspace{1em}\text{(} R_1 \leftrightarrow R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{array} \right) \hspace{1em}\text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \hspace{1em}\text{(} R_2 \leftarrow -R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \hspace{1em}\text{(} R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \text{)} \end{align*}\]

Poiché il blocco sinistro è la matrice identità, otteniamo:

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1\\[0.5ex] -1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Possiamo verificare:

\[ \boldsymbol A \boldsymbol A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[0.5ex] 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\[0.5ex] -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[0.5ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \boldsymbol I. \]

Esempio 2: matrice inversa con il metodo di Gauss–Jordan

Consideriamo

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[0.5ex] 0 & 1 & 1\\[0.5ex] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Calcoliamo la matrice inversa \(\boldsymbol A^{-1}\) con il metodo di Gauss–Jordan.

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -2 & 4 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0 \\[1ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{1}{5} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5} \\[1ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{1}{5} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5} \\[1ex] 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} \\[1ex] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{1}{5} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_3 \text{)} \end{align*}\]

Poiché il blocco sinistro è la matrice identità, otteniamo:

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5}\\[0.8ex] \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[0.8ex] -\tfrac{2}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\[0.5ex] 2 & 1 & -1\\[0.5ex] -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} . \]

Esempio 3: matrice inversa con il metodo di Gauss–Jordan e scambio di righe

Consideriamo

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\[0.5ex] 1 & 0 & 3\\[0.5ex] 4 & -3 & 8 \end{pmatrix}. \]

Calcoliamo la matrice inversa \(\boldsymbol A^{-1}\) con il metodo di Gauss–Jordan. Poiché \(a_{11}=0\), iniziamo con uno scambio di righe.

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftrightarrow R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\[1ex] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{9}{2} & 7 & -\tfrac{3}{2} \\[1ex] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{9}{2} & 7 & -\tfrac{3}{2} \\[1ex] 0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1 \\[1ex] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3 \text{)} \end{align*}\]

Poiché il blocco sinistro è la matrice identità, otteniamo:

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{9}{2} & 7 & -\tfrac{3}{2}\\[0.8ex] -2 & 4 & -1\\[0.8ex] \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -9 & 14 & -3\\[0.5ex] -4 & 8 & -2\\[0.5ex] 3 & -4 & 1 \end{pmatrix}. \]

Osservazione 1: Matrici singolari e metodo di Gauss–Jordan

Sia \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\). Se, applicando operazioni elementari di riga a \(\left(\boldsymbol A \mid \boldsymbol I\right)\), compare una riga nulla nel blocco sinistro, allora \(\det(\boldsymbol A) = 0\) e \(\boldsymbol A\) è singolare: il metodo si arresta e \(\boldsymbol A^{-1}\) non esiste.

Dimostrazione

Il blocco sinistro si ottiene da \(\boldsymbol A\) mediante operazioni elementari di riga. Ciascuna di esse moltiplica il determinante per un numero non nullo (\(-1\) per uno scambio di righe, \(\lambda\neq 0\) per la moltiplicazione di una riga per uno scalare, \(1\) per la somma a una riga di un multiplo di un'altra). Una matrice con una riga nulla ha determinante nullo (sviluppo di Laplace lungo quella riga), quindi \(\det(\boldsymbol A) = 0\). Per la proprietà 4 della Proposizione Proposizione 2, \(\boldsymbol A\) non è invertibile. □

Esempio 4: metodo di Gauss–Jordan su una matrice singolare

Consideriamo

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[0.5ex] 2 & 5 & 7\\[0.5ex] 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}. \]

Proviamo a calcolare \(\boldsymbol A^{-1}\) con il metodo di Gauss–Jordan.

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 7 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \text{)} \end{align*}\]

La terza riga del blocco sinistro è nulla: il blocco sinistro non può essere trasformato nella matrice identità e il metodo si arresta. Dunque \(\boldsymbol A\) è singolare. Infatti, la terza riga di \(\boldsymbol A\) è la differenza tra la seconda e la prima riga, e

\[ \det(\boldsymbol A) = 1\cdot(5\cdot 4-7\cdot 3) - 2\cdot(2\cdot 4 - 7\cdot 1) + 3\cdot(2\cdot 3 - 5\cdot 1) = -1 - 2 + 3 = 0. \]

2.2 Inversa mediante la matrice aggiunta¶

Ricordiamo (si veda il capitolo sulle matrici) che, data \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\), il cofattore dell'elemento \(a_{ij}\) è \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(\boldsymbol A_{ij})\), dove \(\boldsymbol A_{ij}\) è la matrice minore (complementare) ottenuta da \(\boldsymbol A\) eliminando la riga \(i\) e la colonna \(j\).

Definizione 1: Matrice dei cofattori e matrice aggiunta

Sia \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\) con \(n\ge 2\). La matrice dei cofattori di \(\boldsymbol A\) è la matrice \(\boldsymbol C = (C_{ij}) \in \R^{n\times n}\) dei cofattori di \(\boldsymbol A\). La matrice aggiunta di \(\boldsymbol A\) è la trasposta della matrice dei cofattori:

\[ \mathrm{adj}(\boldsymbol A) = \boldsymbol C', \qquad \text{cioè} \qquad \big(\mathrm{adj}(\boldsymbol A)\big)_{ij} = C_{ji}. \]

Teorema 1: Formula della matrice aggiunta

Sia \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\) con \(n\ge 2\). Allora

\[ \boldsymbol A\,\mathrm{adj}(\boldsymbol A) = \mathrm{adj}(\boldsymbol A)\,\boldsymbol A = \det(\boldsymbol A)\,\boldsymbol I. \]

Di conseguenza, se \(\det(\boldsymbol A)\neq 0\), allora \(\boldsymbol A\) è invertibile e

\[ \boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{\det(\boldsymbol A)}\,\mathrm{adj}(\boldsymbol A). \]

Dimostrazione

L'elemento \((i,j)\) di \(\boldsymbol A\,\mathrm{adj}(\boldsymbol A)\) è

\[ \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk}. \]

Se \(i=j\), questo è lo sviluppo di Laplace di \(\det(\boldsymbol A)\) lungo la riga \(i\).
Se \(i\neq j\), questo è lo sviluppo di Laplace lungo la riga \(j\) della matrice \(\widetilde{\boldsymbol A}\) ottenuta da \(\boldsymbol A\) sostituendo la riga \(j\) con la riga \(i\) (i cofattori \(C_{jk}\) non dipendono dalla riga \(j\)). La matrice \(\widetilde{\boldsymbol A}\) ha due righe uguali: scambiandole, \(\widetilde{\boldsymbol A}\) resta invariata mentre il suo determinante cambia segno, quindi \(\det(\widetilde{\boldsymbol A}) = -\det(\widetilde{\boldsymbol A})\), cioè \(\det(\widetilde{\boldsymbol A}) = 0\).

Quindi \(\boldsymbol A\,\mathrm{adj}(\boldsymbol A) = \det(\boldsymbol A)\,\boldsymbol I\). L'identità \(\mathrm{adj}(\boldsymbol A)\,\boldsymbol A = \det(\boldsymbol A)\,\boldsymbol I\) si ottiene allo stesso modo, usando sviluppi di Laplace lungo le colonne. Se \(\det(\boldsymbol A) \neq 0\), dividendo per \(\det(\boldsymbol A)\) si ottiene che \(\frac{1}{\det(\boldsymbol A)}\mathrm{adj}(\boldsymbol A)\) è l'inversa di \(\boldsymbol A\). □

Osservazione 2: Invertibilità e determinante

Una matrice quadrata \(\boldsymbol A \in \R^{n\times n}\) è invertibile se e solo se \(\det(\boldsymbol A) \neq 0\).

Dimostrazione

Se \(\boldsymbol A\) è invertibile, allora \(\det(\boldsymbol A)\neq 0\) per la proprietà 4 della Proposizione Proposizione 2. Viceversa, se \(\det(\boldsymbol A)\neq 0\), allora \(\boldsymbol A\) è invertibile per il Teorema Teorema 1 (per \(n=1\), \(\boldsymbol A = (a)\) con \(a\neq 0\) e \(\boldsymbol A^{-1} = (1/a)\)). □

Osservazione 3: Inversa di una matrice \(2\times 2\)

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in \R^{2\times 2} \quad \text{con} \quad \det(\boldsymbol A) = ad - bc \neq 0. \]

Allora

\[ \boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}. \]

Dimostrazione

Le matrici minori di \(\boldsymbol A\) sono \(1\times 1\), quindi i cofattori sono \(C_{11} = d\), \(C_{12} = -c\), \(C_{21} = -b\), \(C_{22} = a\). Quindi

\[ \boldsymbol C = \begin{pmatrix} d & -c\\ -b & a \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{adj}(\boldsymbol A) = \boldsymbol C' = \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}, \]

e la formula segue dal Teorema Teorema 1. □

Inversa di una matrice \(2\times 2\) (regola). Si scambiano i due elementi della diagonale, si cambia segno ai due elementi fuori diagonale e si divide per il determinante.

Esempio 5: inversa di una matrice \(2\times 2\) con la formula

Consideriamo di nuovo

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\[0.5ex] 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Si ha \(\det(\boldsymbol A) = 2\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1 \neq 0\), quindi

\[ \boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -1\\[0.5ex] -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[0.5ex] -1 & 2 \end{pmatrix}, \]

che è la matrice ottenuta con il metodo di Gauss–Jordan nell'Esempio Esempio 1.

Esempio 6: inversa di una matrice \(3\times 3\) con la formula della matrice aggiunta

Consideriamo di nuovo

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[0.5ex] 0 & 1 & 1\\[0.5ex] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Con lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga:

\[ \det(\boldsymbol A) = 1\cdot(1\cdot 1 - 1\cdot 0) - 2\cdot(0\cdot 1 - 1\cdot 2) + 0 = 1 + 4 = 5 \neq 0. \]

I cofattori sono:

\[\begin{align*} C_{11} &= +\det\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 1, & C_{12} &= -\det\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix} = 2, & C_{13} &= +\det\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix} = -2,\\[1ex] C_{21} &= -\det\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -2, & C_{22} &= +\det\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix} = 1, & C_{23} &= -\det\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0\end{pmatrix} = 4,\\[1ex] C_{31} &= +\det\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 2, & C_{32} &= -\det\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -1, & C_{33} &= +\det\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 1. \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{adj}(\boldsymbol A) = \boldsymbol C' = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & -1\\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \]

e

\[ \boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & -1\\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \]

che è la matrice ottenuta con il metodo di Gauss–Jordan nell'Esempio Esempio 2.

Per \(n=2\) (e spesso per \(n=3\)) la formula della matrice aggiunta è comoda per i calcoli a mano. Per matrici di dimensioni maggiori, il metodo di Gauss–Jordan richiede molte meno operazioni.

Provalo nel laboratorio

lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.

Esercizi e laboratorio¶

Esercizi · il foglio di esercizi di questo capitolo: 10 esercizi con le soluzioni svolte
Laboratorio · Matrice inversa — Gauss–Jordan su \((\boldsymbol A \mid \boldsymbol I)\) oppure la formula con i cofattori.