Vettori

Vettori e matrici · Capitolo 3 · Dispensa (PDF) · Esercizi: Vettori · Slide (PDF)

1. Definizione e trasposto

Definizione 1: Vettore

Un vettore è una colonna di numeri reali con \(n\) righe.

Dato un vettore \(\boldsymbol{a}\in\R^{n}\), scriviamo:

\[ \boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} [\boldsymbol a]_{1}\\ [\boldsymbol a]_{2}\\ \vdots \\ [\boldsymbol a]_{n} \end{pmatrix} \qquad \text{oppure, per brevità,} \qquad \boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}. \]

• L'intero \(n\) è la dimensione del vettore (il numero di righe).

• La quantità \([\boldsymbol a]_i\) (o \(a_i\)) denota l'\(i\)-esimo elemento (o \(i\)-esima componente) di \(\boldsymbol{a}\), per \(i\in\{1,2,\dots,n\}\).

Esempio 1: Vettore

Il vettore

\[ \boldsymbol a = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \in \R^{4} \]

è un vettore colonna con \(n=4\) righe, dove \(a_1 = 2\), \(a_2 = -5\), \(a_3 = 3\) e \(a_4 = 1\).

Definizione 2: Trasposto di un vettore

Dato un vettore colonna \(\boldsymbol a \in \R^{n}\), il trasposto di \(\boldsymbol a\), denotato con \(\boldsymbol a'\), è il vettore riga:

\[\begin{equation} \boldsymbol a' = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{pmatrix} \in \R^{1 \times n}. \end{equation}\]

Esempio 2: Trasposto di un vettore

Dato il vettore colonna

\[ \boldsymbol a = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \in \R^{4}, \]

il suo trasposto è il vettore riga

\[ \boldsymbol a' = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \in \R^{1 \times 4}. \]

2. Somma di vettori e prodotto per uno scalare

Dati due vettori colonna

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_n \end{pmatrix} }_{\boldsymbol p} \in \R^{n} \quad \text{e} \quad \underbrace{ \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix} }_{\boldsymbol w} \in \R^{n} \]

la loro somma è il vettore

\[\begin{equation} \boldsymbol p + \boldsymbol w = \begin{pmatrix} p_1+w_1\\ p_2+w_2\\ \vdots\\ p_n+w_n \end{pmatrix} \in \R^{n} \label{vecSUM} \end{equation}\]

Dati uno scalare \(\lambda\in\R\) e un vettore colonna

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_n \end{pmatrix} }_{\boldsymbol p} \in \R^{n} \]

il prodotto di \(\boldsymbol p\) per lo scalare \(\lambda\) è il vettore

\[\begin{equation} \lambda \boldsymbol p = \begin{pmatrix} \lambda p_1\\ \lambda p_2\\ \vdots\\ \lambda p_n \end{pmatrix} \in \R^{n} \label{vecScalPROD} \end{equation}\]

Esempio 3: Somma di vettori e prodotto per uno scalare

Consideriamo i seguenti due vettori e uno scalare:

\[ \boldsymbol p=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\in\R^2, \qquad \boldsymbol w=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\in\R^2, \qquad \lambda=2. \]

Allora:

\[ \boldsymbol p+\boldsymbol w = \begin{pmatrix} 1+4\\ 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}, \qquad \lambda \boldsymbol p = 2\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 8 \end{pmatrix}. \]

2.1 Proprietà

Le proprietà della somma di vettori e del prodotto per uno scalare sono:

\[\begin{equation} \boldsymbol p + \boldsymbol w = \boldsymbol w + \boldsymbol p, \quad \forall \boldsymbol p, \boldsymbol w \in \R^{n} \label{vecsum_1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (\boldsymbol p + \boldsymbol w) + \boldsymbol u = \boldsymbol p + (\boldsymbol w + \boldsymbol u), \quad \forall \boldsymbol p, \boldsymbol w, \boldsymbol u \in \R^{n} \label{vecsum_2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda (\boldsymbol p + \boldsymbol w) = \lambda \boldsymbol p + \lambda \boldsymbol w, \quad \forall \lambda \in \R,\; \boldsymbol p, \boldsymbol w \in \R^{n} \label{vecsum_3} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (\lambda+\mu)\boldsymbol p = \lambda \boldsymbol p + \mu \boldsymbol p, \quad \forall \lambda,\mu \in \R,\; \boldsymbol p \in \R^{n} \label{vecsum_4} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda(\mu \boldsymbol p) = (\lambda\mu)\boldsymbol p, \quad \forall \lambda,\mu \in \R,\; \boldsymbol p \in \R^{n} \label{vecsum_5} \end{equation}\]

\[\begin{equation} 1\cdot \boldsymbol p = \boldsymbol p, \quad \forall \boldsymbol p \in \R^{n}. \label{vecsum_6} \end{equation}\]

3. Prodotto scalare

Dati due vettori colonna

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_n \end{pmatrix} }_{\boldsymbol p} \in \R^{n} \quad \text{e} \quad \underbrace{ \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix} }_{\boldsymbol w} \in \R^{n} \]

l'espressione

\[\begin{equation} \boldsymbol p' \, \boldsymbol w = \sum_{j=1}^n p_j w_j \end{equation}\]

è detta prodotto scalare di \( \boldsymbol p \) e \( \boldsymbol w \).

Esempio 4: Prodotto scalare

Consideriamo i due vettori \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\in\R^2\) e \(\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\in\R^2\). Il loro prodotto scalare è:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8. \]

3.1 Proprietà

Le proprietà del prodotto scalare sono:

\[\begin{equation} \boldsymbol p' \, \boldsymbol w = \boldsymbol w' \, \boldsymbol p, \quad \forall \boldsymbol p, \boldsymbol w \in \R^{n} \label{scalar_1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol p' \, (\boldsymbol w + \boldsymbol u) = \boldsymbol p' \, \boldsymbol w + \boldsymbol p' \, \boldsymbol u, \quad \forall \boldsymbol p, \boldsymbol w, \boldsymbol u \in \R^{n} \label{scalar_2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda \, (\boldsymbol p' \, \boldsymbol w) = (\lambda \, \boldsymbol p)' \, \boldsymbol w, \quad \forall \lambda \in \R,\; \boldsymbol p, \boldsymbol w \in \R^{n} \label{scalar_3} \end{equation}\]

Dalla definizione si ha:

\[\begin{equation} \boldsymbol p' \, \boldsymbol p \ge 0, \quad \forall \boldsymbol p \in \R^{n} \quad \text{e} \quad \boldsymbol p' \, \boldsymbol p = 0 \Longleftrightarrow \boldsymbol p = \boldsymbol 0 \label{scalar_4_bis} \end{equation}\]

4. Combinazioni lineari e indipendenza lineare

Definizione 3: Combinazione lineare

Dati \(k\) vettori \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\in\R^{n}\) e \(k\) scalari \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\in\R\), il vettore

\[\begin{equation} \lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2+\dots+\lambda_k\boldsymbol v_k=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol v_i\in\R^{n} \label{vecLinComb} \end{equation}\]

è detto combinazione lineare di \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\) con coefficienti \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\).

• Denotiamo con \(\boldsymbol 0\in\R^{n}\) il vettore nullo, cioè il vettore i cui elementi sono tutti uguali a \(0\).

• Scegliendo \(\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_k=0\) si ottiene sempre \(\boldsymbol 0\): questa è detta combinazione lineare banale.

Esempio 5: Combinazione lineare

Consideriamo i vettori

\[ \boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\in\R^{3}, \]

e i coefficienti \(\lambda_1=2\) e \(\lambda_2=-3\). La corrispondente combinazione lineare è

\[ 2\boldsymbol v_1-3\boldsymbol v_2 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-3\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}. \]

Definizione 4: Vettori linearmente indipendenti

I vettori \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\in\R^{n}\) sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella banale, cioè

\[\begin{equation} \lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2+\dots+\lambda_k\boldsymbol v_k=\boldsymbol 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_k=0. \label{vecLinIndep} \end{equation}\]

Altrimenti, cioè se esistono coefficienti \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\), non tutti nulli, tali che \(\lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2+\dots+\lambda_k\boldsymbol v_k=\boldsymbol 0\), i vettori sono linearmente dipendenti.

Esempio 6: Vettori linearmente indipendenti in \(\R^2\)

Consideriamo i vettori \( \boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\in\R^{2}. \) La condizione \(\lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2=\boldsymbol 0\) si scrive

\[ \begin{cases} \lambda_1+3\lambda_2=0\\ 2\lambda_1+\lambda_2=0 \end{cases} \]

Dalla prima equazione \(\lambda_1=-3\lambda_2\); sostituendo nella seconda si ottiene \(-6\lambda_2+\lambda_2=-5\lambda_2=0\), quindi \(\lambda_2=0\) e \(\lambda_1=0\). Pertanto, \(\boldsymbol v_1\) e \(\boldsymbol v_2\) sono linearmente indipendenti.

Esempio 7: Vettori linearmente dipendenti in \(\R^2\)

Consideriamo i vettori

\[ \boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_3=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\in\R^{2}. \]

Con i coefficienti \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=1\), \(\lambda_3=-1\) (non tutti nulli) si ottiene

\[ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2-\boldsymbol v_3 = \begin{pmatrix}1+3-4\\2+1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}. \]

Pertanto, \(\boldsymbol v_1\), \(\boldsymbol v_2\) e \(\boldsymbol v_3\) sono linearmente dipendenti.

Esempio 8: Vettori linearmente indipendenti in \(\R^3\)

Consideriamo i vettori

\[ \boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\in\R^{3}. \]

La condizione \(\lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2+\lambda_3\boldsymbol v_3=\boldsymbol 0\) si scrive

\[ \begin{cases} \lambda_1+\lambda_3=0\\ \lambda_2+\lambda_3=0\\ \lambda_1+\lambda_2=0 \end{cases} \]

Dalle prime due equazioni \(\lambda_1=-\lambda_3\) e \(\lambda_2=-\lambda_3\); sostituendo nella terza si ottiene \(-2\lambda_3=0\). Quindi \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\) e i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio 9: Vettori linearmente dipendenti in \(\R^3\)

Consideriamo i vettori

\[ \boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_3=\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\in\R^{3}. \]

Con i coefficienti \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=-2\), \(\lambda_3=1\) si ottiene

\[ \boldsymbol v_1-2\boldsymbol v_2+\boldsymbol v_3 = \begin{pmatrix}1-8+7\\2-10+8\\3-12+9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}. \]

Pertanto, i tre vettori sono linearmente dipendenti. Equivalentemente, \(\boldsymbol v_3=2\boldsymbol v_2-\boldsymbol v_1\) è combinazione lineare di \(\boldsymbol v_1\) e \(\boldsymbol v_2\).

Osservazione 1: Insiemi contenenti il vettore nullo

Ogni insieme di vettori \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\in\R^{n}\) contenente il vettore nullo \(\boldsymbol 0\) è linearmente dipendente.

Dimostrazione

Supponiamo, senza perdita di generalità, che \(\boldsymbol v_1=\boldsymbol 0\). Scegliendo \(\lambda_1=1\) e \(\lambda_2=\dots=\lambda_k=0\) si ottiene \(1\cdot\boldsymbol 0+0\cdot\boldsymbol v_2+\dots+0\cdot\boldsymbol v_k=\boldsymbol 0\), che è una combinazione lineare uguale a \(\boldsymbol 0\) con coefficienti non tutti nulli. □

Osservazione 2: Caratterizzazione della dipendenza lineare

Sia \(k\ge 2\). I vettori \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\in\R^{n}\) sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri.

Dimostrazione

(\(\Rightarrow\)) Se i vettori sono linearmente dipendenti, esistono coefficienti, non tutti nulli, tali che \(\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol v_i=\boldsymbol 0\). Sia \(j\) un indice con \(\lambda_j\neq 0\). Allora

\[ \boldsymbol v_j=\sum_{i\neq j}\left(-\frac{\lambda_i}{\lambda_j}\right)\boldsymbol v_i, \]

cioè \(\boldsymbol v_j\) è combinazione lineare degli altri.

(\(\Leftarrow\)) Se \(\boldsymbol v_j=\sum_{i\neq j}\mu_i\boldsymbol v_i\) per opportuni scalari \(\mu_i\), allora \(\sum_{i\neq j}\mu_i\boldsymbol v_i+(-1)\,\boldsymbol v_j=\boldsymbol 0\), che è una combinazione lineare uguale a \(\boldsymbol 0\) in cui il coefficiente di \(\boldsymbol v_j\) è \(-1\neq 0\). □

Osservazione 3: Più di \(n\) vettori di \(\R^n\)

Comunque si scelgano \(k>n\) vettori di \(\R^{n}\), essi sono linearmente dipendenti.

• Enunciamo questo risultato senza dimostrazione. Ad esempio, tre vettori qualsiasi di \(\R^2\) sono linearmente dipendenti (si veda l'Esempio Esempio 7).

4.1 Span e base

Definizione 5: Span (sottospazio generato)

Lo span (o sottospazio generato) dei vettori \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\in\R^{n}\) è l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari:

\[\begin{equation} \mathrm{span}(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k) = \Bigl\{\lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2+\dots+\lambda_k\boldsymbol v_k \;:\; \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\in\R\Bigr\}. \label{vecSpan} \end{equation}\]

Definizione 6: Base di \(\R^n\)

I vettori \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\in\R^{n}\) formano una base di \(\R^{n}\) se

• sono linearmente indipendenti, e

• \(\mathrm{span}(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k)=\R^{n}\), cioè ogni vettore di \(\R^{n}\) è loro combinazione lineare.

Osservazione 4: Coordinate rispetto a una base

Se \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\dots,\boldsymbol v_k\) formano una base di \(\R^{n}\), allora ogni vettore \(\boldsymbol x\in\R^{n}\) si scrive in modo unico come \(\boldsymbol x=\lambda_1\boldsymbol v_1+\lambda_2\boldsymbol v_2+\dots+\lambda_k\boldsymbol v_k\). I coefficienti \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\) sono detti coordinate di \(\boldsymbol x\) rispetto alla base.

Dimostrazione

Tali coefficienti esistono perché lo span della base è \(\R^{n}\). Se \(\boldsymbol x=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol v_i=\sum_{i=1}^{k}\mu_i\boldsymbol v_i\), sottraendo le due espressioni si ottiene \(\sum_{i=1}^{k}(\lambda_i-\mu_i)\boldsymbol v_i=\boldsymbol 0\). Poiché i vettori sono linearmente indipendenti, \(\lambda_i-\mu_i=0\) per ogni \(i\in\{1,2,\dots,k\}\). □

Definizione 7: Base canonica

Per \(i\in\{1,2,\dots,n\}\), denotiamo con \(\boldsymbol e_i\in\R^{n}\) il vettore il cui \(i\)-esimo elemento è uguale a \(1\) e tutti gli altri elementi sono uguali a \(0\):

\[ \boldsymbol e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \qquad \dots, \qquad \boldsymbol e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}. \]

I vettori \(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\dots,\boldsymbol e_n\) formano la base canonica di \(\R^{n}\).

Osservazione 5: La base canonica è una base

I vettori \(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\dots,\boldsymbol e_n\) formano una base di \(\R^{n}\), e ogni \(\boldsymbol x\in\R^{n}\) soddisfa

\[\begin{equation} \boldsymbol x=x_1\boldsymbol e_1+x_2\boldsymbol e_2+\dots+x_n\boldsymbol e_n. \label{vecCanonical} \end{equation}\]

Dimostrazione

Per qualsiasi scelta degli scalari \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) si ha \(\lambda_1\boldsymbol e_1+\dots+\lambda_n\boldsymbol e_n=\begin{pmatrix}\lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_n\end{pmatrix}'\). Questo vettore è uguale a \(\boldsymbol 0\) solo se \(\lambda_1=\dots=\lambda_n=0\), quindi i vettori sono linearmente indipendenti; scegliendo \(\lambda_i=x_i\) si ottiene \(\eqref{vecCanonical}\), quindi il loro span è \(\R^{n}\). □

• Si può dimostrare che ogni base di \(\R^{n}\) è formata esattamente da \(n\) vettori.

Esempio 10: Base canonica di \(\R^3\)

Il vettore \(\boldsymbol x=\begin{pmatrix}2 & -5 & 3\end{pmatrix}'\in\R^{3}\) si può scrivere come

\[ \boldsymbol x = 2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} -5\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = 2\boldsymbol e_1-5\boldsymbol e_2+3\boldsymbol e_3. \]

Esempio 11: Coordinate rispetto a una base di \(\R^2\)

Consideriamo i vettori \( \boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. \)

• Sono linearmente indipendenti: \(\lambda_1+\lambda_2=0\) e \(\lambda_1-\lambda_2=0\) danno \(\lambda_1=\lambda_2=0\).

• Il loro span è \(\R^{2}\): per ogni \(\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}'\in\R^{2}\),

  \[ \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = \frac{a+b}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + \frac{a-b}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. \]

Quindi \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2\) formano una base di \(\R^2\). Ad esempio, le coordinate di \(\boldsymbol x=\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}'\) sono \(\lambda_1=\frac{3+1}{2}=2\) e \(\lambda_2=\frac{3-1}{2}=1\):

\[ \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. \]

Esercizi e laboratorio

• Esercizi · il foglio di esercizi di questo capitolo: 10 esercizi con le soluzioni svolte