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Valore assoluto

Approfondimenti · Capitolo A.1 · Dispensa (PDF) · Esercizi: Valore assoluto · Slide (PDF)

1. Definizione

Definizione 1: valore assoluto

Il valore assoluto \(|a|\) di un numero reale \(a\) è il seguente numero reale non negativo:

\[\begin{equation} |a| = \begin{cases} a & {\rm se~~} a \ge 0\\ -a & {\rm se~~} a < 0 \end{cases} \label{ass_1} \end{equation}\]

Dalla definizione di valore assoluto segue immediatamente che:

\[\begin{equation} |a| < \varepsilon \Longleftrightarrow -\varepsilon < a < \varepsilon, \qquad \forall \varepsilon > 0, a \in \mathbb{R} \label{ass_2} \end{equation}\]

e, analogamente, per le disuguaglianze non strette:

\[\begin{equation} |a| \le \varepsilon \Longleftrightarrow -\varepsilon \le a \le \varepsilon, \qquad \forall \varepsilon \ge 0, a \in \mathbb{R} \label{ass_2b} \end{equation}\]

2. Disuguaglianza triangolare

Osservazione 1: disuguaglianza triangolare

\[\begin{equation} |b + c| \le |b| + |c|, \qquad \forall b,c \in \mathbb{R} \label{ass_3} \end{equation}\]
Dimostrazione

Scriviamo le due relazioni:

\[ -|b| \le b \le |b|, \quad \quad -|c| \le c \le |c| \]

e sommiamo membro a membro:

\[ -(|b| + |c|) \le b + c \le |b| + |c| \]

Quindi per la \(\eqref{ass_2b}\), con \(\varepsilon=|b|+|c|\ge 0\) e \(a=b+c\), segue la \(\eqref{ass_3}\). □

  • La disuguaglianza triangolare si usa anche nella forma seguente:

    \[\begin{equation} |d - e| \le |d-f| + |e-f| \qquad \forall d,e,f \in \mathbb{R} \label{ass_4} \end{equation}\]

    Per ottenerla, basta porre nella \(\eqref{ass_3}\):

    \[ b = d - f, \quad c = f-e \]

    e si ottiene:

    \[ |d - f +f-e|=|d -e| \le |d - f| + |f-e| = |d - f| + |e-f| \]

    poiché:

    \[ |f - e| = |e-f| \qquad \forall e,f \in \mathbb{R} \]

  • Infine, un'altra forma della disuguaglianza triangolare è:

    \[\begin{equation} |g| \le |g-h| + |h| \text{~~~~~cioè~~~~~} |g| - |h| \le |g-h| \qquad \forall g,h \in \mathbb{R} \label{ass_AA} \end{equation}\]

    Per ottenerla, basta porre nella \(\eqref{ass_3}\):

    \[ b = g - h, \quad c = h \]

Osservazione 2: disuguaglianza triangolare inversa

\[\begin{equation} \big|\, |g| - |h| \,\big| \le |g-h|, \quad \forall g,h \in \mathbb{R} \label{ass_5} \end{equation}\]
Dimostrazione

Dalla \(\eqref{ass_AA}\), si ha:

\[ |g| - |h| \le |g-h| \qquad \forall g,h \in \mathbb{R} \]

Analogamente, scambiando \(g\) con \(h\) nella \(\eqref{ass_AA}\) si ottiene:

\[ |h| - |g| \le |h-g| = |g-h| \text{~~~~cioè~~~~} |g| - |h| \ge -|g-h| \]

quindi si ha

\[ -(|g-h|) \le |g| - |h| \le |g-h| \qquad \forall g,h \in \mathbb{R} \]

Di conseguenza, dalla \(\eqref{ass_2b}\), con \(\varepsilon = |g-h| \ge 0\) e \(a= |g| - |h|\), si ottiene la disuguaglianza triangolare inversa. □

  • La disuguaglianza triangolare \(\eqref{ass_3}\) si generalizza facilmente al caso di \(k\) addendi:

    \[\begin{equation} \left| \sum_{i=1}^k b_i \right| \le \sum_{i=1}^k |b_i|. \label{ass_6} \end{equation}\]

  • Valgono inoltre le seguenti proprietà immediate:

    \[\begin{equation} |b\:c| = |b| \: |c|, \qquad \left| \frac{b}{c}\right|= \frac{|b|}{|c|}, \qquad |-b|=|b| \qquad \forall b,c \in \mathbb{R} ~ (c \neq 0 {\rm ~nel~quoziente}). \label{ass_7} \end{equation}\]

Esercizi e laboratorio