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Sommatorie

Somme e produttorie · Capitolo 1 · Dispensa (PDF) · Esercizi: Sommatorie · Slide (PDF) · App: Somme e produttorie

1. Definizione

Definizione 1: sommatoria

Dati \(n\) valori \(a_j \in \R\) con \(j \in \{1,2,\dots,n\}\), la somma

\[ a_1 + a_2 + {\rm \dots} + a_n \]

può essere indicata in forma compatta con il simbolo di sommatoria:

\[ \sum_{j=1}^n a_j \]

che si legge: “sommatoria per \(j\) da \(1\) a \(n\) di \(a_j\)”. Il simbolo \(j\) è detto indice di sommatoria.

  • Il simbolo di sommatoria è quindi molto utile quando i termini \(a_j\) sono definiti esplicitamente in funzione dell'indice di sommatoria \(j\).

Esempio 1: sommatorie

\[\begin{align*} \sum_{j=1}^{10} \frac{1}{j} &~~=~~ 1 +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} +\frac{1}{8} +\frac{1}{9} +\frac{1}{10} \\[2ex] \sum_{j=3}^{n} j^2 &~~=~~ 3^2 +4^2 +5^2 + {\rm \dots} +n^2 \end{align*}\]
  • L'indice di sommatoria è un indice muto. Ciò significa che, se \(j\) viene sostituito con \(i\), \(k\) o qualsiasi altro indice in tutte le sue occorrenze, il valore della sommatoria non cambia.

Esempio 2: indice muto

Si ha:

\[ \sum_{j=1}^n j^2 ~~=~~ \sum_{i=1}^n i^2 ~~=~~ \sum_{k=1}^{n} k^2 \]

poiché i simboli indicano tutti la somma dei quadrati dei primi \(n\) numeri naturali (zero escluso). Al contrario, si ha:

\[ \sum_{j=1}^n j^2 ~~\neq~~ \sum_{j=1}^{m} j^2 \]

poiché i due simboli indicano la somma, rispettivamente, dei primi \(n\) e dei primi \(m\) quadrati dei numeri naturali (zero escluso). Chiaramente, se \(n \neq m\), il risultato è diverso.

2. Proprietà

Osservazione 1: sommatoria di un termine costante

Per ogni numero naturale \(n\ge 1\) e ogni numero reale \(c\), si ha:

\[\begin{equation} \label{P2} \sum_{j=1}^n c = n \; c \end{equation}\]
Dimostrazione

Si ha:

\[ \underbrace{c\: + c + {\rm \dots} + c\:}_{=\sum_{j=1}^n c, {\rm ~~~} c {\rm ~sommato~} n {\rm ~volte}} = n \: c \]

□

Osservazione 2: prodotto per una costante

Per ogni sommatoria \(\sum_{j=1}^n a_j\) e ogni numero reale \(c\), si ha:

\[\begin{equation} \label{P1} \sum_{j=1}^n (c \; a_j) = c \: \sum_{j=1}^n a_j \end{equation}\]
Dimostrazione

Per la proprietà distributiva, si ha:

\[ \underbrace{c\: a_1 + c\: a_2 + {\rm \dots} + c\: a_n}_{=\sum_{j=1}^n (c \; a_j)} = \underbrace{c \: (a_1+a_2+{\rm \dots}+a_n)}_{= c \: \sum_{j=1}^n a_j} \]

□

Osservazione 3: unione di sommatorie

Per ogni coppia di sommatorie \(\sum_{j=1}^n a_j\) e \(\sum_{j=1}^n b_j\), si ha:

\[\begin{equation} \label{P3} \sum_{j=1}^n a_j + \sum_{j=1}^n b_j = \sum_{j=1}^n (a_j + b_j) \end{equation}\]
Dimostrazione

Si ha:

\[ \underbrace{a_1 + a_2 + {\rm \dots} + a_n + b_1 + b_2 + {\rm \dots} + b_n}_{=\sum_{j=1}^n a_j + \sum_{j=1}^n b_j} = \underbrace{a_1 + b_1 +a_2 + b_2+{\rm \dots}+a_n + b_n}_{=\sum_{j=1}^n (a_j + b_j) } \]

□

Osservazione 4: scomposizione

Per ogni sommatoria \(\sum_{j=1}^{n+m} a_j\), si ha:

\[\begin{align} \label{P4} \sum_{j=1}^{n+m} a_j &= \sum_{j=1}^n a_j + \sum_{j=n+1}^{n+m} a_j \end{align}\]

Osservazione 5: traslazione dell'indice

Per ogni sommatoria \(\sum_{j=1}^{n} a_j\) e ogni numero naturale \(m \ge 1\), si ha:

\[\begin{align} \label{P5} \sum_{j=1}^n a_j &= \sum_{j=1+m}^{n+m} a_{j-m} = \sum_{j=1-m}^{n-m} a_{j+m} \end{align}\]

Osservazione 6: riflessione dell'indice

Per ogni sommatoria \(\sum_{j=1}^{n} a_j\), si ha:

\[\begin{align} \label{P6} \sum_{j=1}^n a_j &= \sum_{j=1}^n a_{n-j+1} = \sum_{j=0}^{n-1} a_{n-j} \end{align}\]
Dimostrazione

Le tre proprietà sono semplicemente notazioni diverse e/o riordinamenti dei termini delle sommatorie. □

3. Alcune sommatorie importanti

Osservazione 7: somma dei primi \(n\) numeri naturali positivi

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), si ha:

\[\begin{equation} \sum_{j=1}^n j = \frac{n^2 +n}{2} \end{equation}\]
Dimostrazione

Si ha:

\[\begin{align*} \sum_{j=1}^n j &= \frac{1}{2} \left( \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n j \right)\\[2ex] & = \frac{1}{2} \left( \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n \big( n-j+1 \big) \right)\\[2ex] & = \frac{1}{2} \; \sum_{j=1}^n \big(j+ n-j+1 \big)\\[2ex] &= \frac{1}{2} \; \sum_{j=1}^n \big(n +1 \big) = \frac{n \: (n+1)}{2} = \frac{n^2 +n}{2} \end{align*}\]

□

Osservazione 8: somma dei primi \(n\) numeri pari positivi

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), si ha:

\[\begin{equation} \sum_{j=1}^n 2\:j = n^2 + n \end{equation}\]
Dimostrazione

Si ha:

\[\begin{align*} \sum_{j=1}^n 2\:j &= 2\:\sum_{j=1}^n j = 2 \left(\frac{n^2 + n}{2} \right) = n^2 + n \end{align*}\]

□

Osservazione 9: somma dei primi \(n\) numeri dispari

Per ogni numero naturale \(n \ge 1\), si ha:

\[ \sum_{j=0}^{n-1} (2\:j+1) = n^2 \quad {\rm ~~o~~~equivalentemente~~} \quad \sum_{j=1}^n (2\:j-1) = n^2 \]
Dimostrazione

Si ha:

\[\begin{align*} \sum_{j=0}^{n-1} (2\: j+1) &= 2\:\sum_{j=0}^{n-1} j + {\sum_{j=0}^{n-1} 1} = 2\:\sum_{j=1}^{n} (j-1) + {\sum_{j=1}^{n} 1}\\[2ex] & = 2\:\left(\sum_{j=1}^n j - \sum_{j=1}^n 1 \right)+ n \\[2ex] & = 2\:\left( \frac{n^2 + n}{2} - n \right)+ n = n^2 + n - 2\:n + n = n^2 \\[5ex] \sum_{j=1}^n (2\:j-1) &= 2\:\sum_{j=1}^n j - {\sum_{j=1}^n 1}\\[2ex] & = 2\:\left( \frac{n^2 + n}{2} \right)- n = n^2 + n -n = n^2 \end{align*}\]

□

Provalo nel laboratorio

lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.

Esercizi e laboratorio