Matrici

Esercizi · Vettori e matrici · con le soluzioni svolte · Dispensa (PDF) · Capitolo 4.1: Matrici

Esercizio 1

Utilizzando la definizione, dimostrare che la matrice

\[ {\boldsymbol Q}_1=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0\\[1ex] 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 2} \]

è semidefinita positiva.

Soluzione

Si ha:

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\[1ex] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3} x_1 + 0 \cdot x_2 \right) & \left(0 \cdot x_1 + \frac{1}{2} x_2\right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \end{pmatrix}\\[2ex] &= \left(\frac{1}{3} x_1 \right) x_1 + \left(\frac{1}{2} x_2\right) x_2 \\[2ex] &= \frac{1}{3} x_1^2 + \frac{1}{2} x_2^2 \geq 0, ~~~~~~ \forall (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \end{align*}\]

Di conseguenza, la matrice \( {\boldsymbol Q}_1 \) è semidefinita positiva.

Esercizio 2

Utilizzando la definizione, dimostrare che la matrice

\[ {\boldsymbol Q}_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1ex] 1 & 3 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 2} \]

è semidefinita positiva.

Soluzione

Si ha:

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1ex] 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} (3\;x_1 + x_2) & (x_1 + 3\;x_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \end{pmatrix}\\[2ex] &= (3\;x_1 + x_2)\;x_1 + (x_1 + 3\;x_2)\;x_2 \\[2ex] &= 3\;x_1^2 + x_1\;x_2 + x_1\;x_2 + 3\;x_2^2 \\[2ex] &= 3\;x_1^2 + 2\;x_1\;x_2 + 3\;x_2^2 \\[2ex] &= (x_1 + x_2)^2 + 2\;x_1^2 + 2\;x_2^2 \geq 0, ~~~~~~ \forall (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \end{align*}\]

di conseguenza la matrice \({\boldsymbol Q}_2\) è semidefinita positiva.

Esercizio 3

Utilizzando la definizione, dimostrare che la matrice

\[ {\boldsymbol Q}_3 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1ex] -1 & 2 & -1 \\[1ex] 0 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} \in \R^{3 \times 3} \]

è semidefinita positiva.

Soluzione

Si ha:

\[\begin{align*} &\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1ex] -1 & 2 & -1 \\[1ex] 0 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \\[1ex] x_3 \\ \end{pmatrix}\\[2ex] &= \begin{pmatrix} (2\;x_1-x_2) & (-x_1+2\;x_2-x_3)& (-x_2+2\;x_3) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \\[1ex] x_3 \\ \end{pmatrix}\\[2ex] &= (2\;x_1-x_2)\;x_1 + (-x_1+2\;x_2-x_3)\; x_2 + (-x_2+2\;x_3)x_3 \\[2ex] &= 2\;x_1^2 - x_2\;x_1 - x_1\;x_2+ 2\;x_2^2 - x_3\;x_2 - x_2\;x_3 + 2\;x_3^2\\[2ex] &= 2\;x_1^2 - 2\;x_1\;x_2 + 2\;x_2^2 - 2 \;x_2\;x_3 + 2\;x_3^2 \\[2ex] &= x_1^2+ x_1^2 - 2\;x_1\;x_2 + x_2^2 + x_2^2 - 2 \;x_2\;x_3 + x_3^2 + x_3^2 \\[2ex] &= x_1^2 + (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + x_3^2 \ge 0, ~~~~~~ \forall ( x_1, x_2, x_3 ) \in \R^3 \end{align*}\]

di conseguenza la matrice \({\boldsymbol Q}_3\) è semidefinita positiva.

Esercizio 4

Si considerino le matrici

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ -3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \in\R^{2\times 3}. \]

Calcolare \(\boldsymbol A+\boldsymbol B\), \(2\boldsymbol A-\boldsymbol B\), \(\boldsymbol A'\), e verificare che \((\boldsymbol A+\boldsymbol B)'=\boldsymbol A'+\boldsymbol B'\).

Soluzione

Somma e prodotto per uno scalare si calcolano elemento per elemento:

\[ \boldsymbol A+\boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1+2 & -2+1 & 3+0\\ 0-3 & 4+2 & -1+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 3\\ -3 & 6 & 4 \end{pmatrix}, \]

\[ 2\boldsymbol A-\boldsymbol B= \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6\\ 0 & 8 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ -3 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -5 & 6\\ 3 & 6 & -7 \end{pmatrix}. \]

La trasposta si ottiene scambiando righe e colonne (\(\boldsymbol A'\in\R^{3\times 2}\)):

\[ \boldsymbol A'= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -2 & 4\\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol B'= \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 1 & 2\\ 0 & 5 \end{pmatrix}. \]

Infine,

\[ \boldsymbol A'+\boldsymbol B'= \begin{pmatrix} 3 & -3\\ -1 & 6\\ 3 & 4 \end{pmatrix} =(\boldsymbol A+\boldsymbol B)'. \]

Esercizio 5

Si considerino le matrici

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}\in\R^{2\times 3}, \qquad \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\in\R^{3\times 2}, \qquad \boldsymbol C= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\in\R^{2\times 2}. \]

1. Tra i prodotti \(\boldsymbol A\boldsymbol B\), \(\boldsymbol B\boldsymbol A\), \(\boldsymbol A\boldsymbol C\), \(\boldsymbol C\boldsymbol A\), \(\boldsymbol B\boldsymbol C\), \(\boldsymbol C\boldsymbol B\), dire quali sono definiti e indicare le dimensioni del risultato.

2. Calcolare \(\boldsymbol C\boldsymbol A\), \(\boldsymbol A\boldsymbol B\) e \(\boldsymbol B\boldsymbol C\).

Soluzione

1. Il prodotto di una matrice di \(\R^{m\times n}\) per una matrice di \(\R^{q\times p}\) è definito solo se \(n=q\) (numero di colonne della prima = numero di righe della seconda), e il risultato appartiene a \(\R^{m\times p}\). Quindi:

   • \(\boldsymbol A\boldsymbol B\): \((2\times 3)(3\times 2)\), definito, risultato in \(\R^{2\times 2}\);

   • \(\boldsymbol B\boldsymbol A\): \((3\times 2)(2\times 3)\), definito, risultato in \(\R^{3\times 3}\);

   • \(\boldsymbol A\boldsymbol C\): \((2\times 3)(2\times 2)\), non definito (\(3\neq 2\));

   • \(\boldsymbol C\boldsymbol A\): \((2\times 2)(2\times 3)\), definito, risultato in \(\R^{2\times 3}\);

   • \(\boldsymbol B\boldsymbol C\): \((3\times 2)(2\times 2)\), definito, risultato in \(\R^{3\times 2}\);

   • \(\boldsymbol C\boldsymbol B\): \((2\times 2)(3\times 2)\), non definito (\(2\neq 3\)).

2. Ogni elemento \((i,k)\) è il prodotto scalare della riga \(i\) della prima matrice e della colonna \(k\) della seconda:

   \[ \boldsymbol C\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 3 & 1\cdot 0+2\cdot(-1) & 1\cdot 2+2\cdot 1\\ 0\cdot 1+(-1)\cdot 3 & 0\cdot 0+(-1)\cdot(-1) & 0\cdot 2+(-1)\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 4\\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \]
   \[ \boldsymbol A\boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1\cdot 1+0\cdot 2+2\cdot(-1) & 1\cdot 0+0\cdot 1+2\cdot 3\\ 3\cdot 1+(-1)\cdot 2+1\cdot(-1) & 3\cdot 0+(-1)\cdot 1+1\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6\\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \]
   \[ \boldsymbol B\boldsymbol C= \begin{pmatrix} 1\cdot 1+0\cdot 0 & 1\cdot 2+0\cdot(-1)\\ 2\cdot 1+1\cdot 0 & 2\cdot 2+1\cdot(-1)\\ -1\cdot 1+3\cdot 0 & -1\cdot 2+3\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3\\ -1 & -5 \end{pmatrix}. \]

Esercizio 6

1. Siano \( \boldsymbol A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}. \) Calcolare \(\boldsymbol A\boldsymbol B\) e \(\boldsymbol B\boldsymbol A\). Il prodotto è commutativo?

2. Siano \( \boldsymbol A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol B=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}. \) Calcolare \(\boldsymbol A\boldsymbol B\). Che cosa si osserva?

Soluzione

1.

$$
\boldsymbol A\boldsymbol B=
\begin{pmatrix}
1\cdot 1+1\cdot 1 & 1\cdot 0+1\cdot 1\\
0\cdot 1+1\cdot 1 & 0\cdot 0+1\cdot 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
\boldsymbol B\boldsymbol A=
\begin{pmatrix}
1\cdot 1+0\cdot 0 & 1\cdot 1+0\cdot 1\\
1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.
$$

Poiché \(\boldsymbol A\boldsymbol B\neq\boldsymbol B\boldsymbol A\), il prodotto non è commutativo (anche per matrici quadrate dello stesso ordine).

2.

$$
\boldsymbol A\boldsymbol B=
\begin{pmatrix}
1\cdot 1+1\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+1\cdot 1\\
1\cdot 1+1\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+1\cdot 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Il prodotto di due matrici non nulle può essere la matrice nulla: a differenza dei numeri reali, \(\boldsymbol A\boldsymbol B=\boldsymbol 0\) <strong>non</strong> implica \(\boldsymbol A=\boldsymbol 0\) o \(\boldsymbol B=\boldsymbol 0\).

Esercizio 7

1. Per ciascuna delle seguenti matrici, dire se è quadrata, diagonale, simmetrica, triangolare superiore, triangolare inferiore:

   \[ \boldsymbol M_1=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol M_2=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol M_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 5 & 2 & 0\\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol M_4=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}. \]

2. Calcolare il prodotto delle matrici triangolari superiori \( \boldsymbol U_1=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol U_2=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 0 & 4\end{pmatrix}. \) Che tipo di matrice si ottiene?

3. Siano \( \boldsymbol D=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}. \) Calcolare \(\boldsymbol D\boldsymbol A\) e \(\boldsymbol A\boldsymbol D\) e descrivere l'effetto della matrice diagonale.

Soluzione

1. • \(\boldsymbol M_1\): quadrata e simmetrica (\(m_{12}=m_{21}=2\)); non è né diagonale né triangolare.

   • \(\boldsymbol M_2\): quadrata e diagonale; quindi è anche simmetrica, triangolare superiore e triangolare inferiore.

   • \(\boldsymbol M_3\): quadrata e triangolare inferiore (tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli); non è simmetrica (ad esempio \(m_{21}=5\neq 0=m_{12}\)).

   • \(\boldsymbol M_4\in\R^{2\times 3}\): non è quadrata, quindi nessuna delle altre proprietà si applica.

2.

$$
\boldsymbol U_1\boldsymbol U_2=
\begin{pmatrix}
1\cdot 2+2\cdot 0 & 1\cdot(-1)+2\cdot 4\\
0\cdot 2+3\cdot 0 & 0\cdot(-1)+3\cdot 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 7\\
0 & 12
\end{pmatrix},
$$

che è ancora triangolare superiore, con elementi diagonali \(1\cdot 2=2\) e \(3\cdot 4=12\).

3.

$$
\boldsymbol D\boldsymbol A=
\begin{pmatrix}
2\cdot 1 & 2\cdot 2\\
3\cdot 3 & 3\cdot 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 4\\
9 & 12
\end{pmatrix},
\qquad
\boldsymbol A\boldsymbol D=
\begin{pmatrix}
1\cdot 2 & 2\cdot 3\\
3\cdot 2 & 4\cdot 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 6\\
6 & 12
\end{pmatrix}.
$$

La moltiplicazione a sinistra per \(\boldsymbol D\) moltiplica la \(i\)-esima <strong>riga</strong> di \(\boldsymbol A\) per \(d_{ii}\); la moltiplicazione a destra moltiplica la \(j\)-esima <strong>colonna</strong> di \(\boldsymbol A\) per \(d_{jj}\).

Esercizio 8

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

e sia \(\pi=(2,3,1)\).

1. Scrivere la matrice di permutazione \(\boldsymbol P_{\pi}\) e calcolare \(\boldsymbol P_{\pi}\boldsymbol A\).

2. Calcolare \(\boldsymbol A\boldsymbol P_{\pi}'\) e verificare che le colonne di \(\boldsymbol A\) sono riordinate secondo \(\pi\).

3. Verificare che \(\boldsymbol P_{\pi}\boldsymbol P_{\pi}'=\boldsymbol I_3\).

Soluzione

1. \(\boldsymbol P_{\pi}\) si ottiene da \(\boldsymbol I_3\) mettendo per prima la riga \(2\), poi la riga \(3\), poi la riga \(1\):

   \[ \boldsymbol P_{\pi}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol P_{\pi}\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \]

   Le righe di \(\boldsymbol A\) compaiono nell'ordine \(2,3,1\).

2.

$$
\boldsymbol A\boldsymbol P_{\pi}'=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1\\
5 & 6 & 4\\
8 & 9 & 7
\end{pmatrix}.
$$

Le colonne di \(\boldsymbol A\) compaiono nell'ordine \(2,3,1\).

3.

$$
\boldsymbol P_{\pi}\boldsymbol P_{\pi}'=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=\boldsymbol I_3.
$$

Quindi \(\boldsymbol P_{\pi}\) è invertibile e \(\boldsymbol P_{\pi}^{-1}=\boldsymbol P_{\pi}'\) (allo stesso modo si verifica che \(\boldsymbol P_{\pi}'\boldsymbol P_{\pi}=\boldsymbol I_3\)).

Esercizio 9

Calcolare il determinante di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & -2\\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \]

mediante lo sviluppo di Laplace lungo la riga o colonna più conveniente, e verificare il risultato con la regola di Sarrus.

Soluzione

La seconda colonna contiene due zeri, quindi sviluppiamo lungo di essa: contribuisce solo l'elemento \(a_{32}=4\),

\[ \det(\boldsymbol A)=0\cdot C_{12}+0\cdot C_{22}+4\cdot C_{32}. \]

Il cofattore è

\[ C_{32}=(-1)^{3+2}\det \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix} = -\bigl(2\cdot(-2)-1\cdot 3\bigr) = -(-4-3)=7. \]

Pertanto \(\det(\boldsymbol A)=4\cdot 7=28\).

Verifica con la regola di Sarrus (\(a=2,b=0,c=1,d=3,e=0,f=-2,g=1,h=4,i=5\)):

\[ \det(\boldsymbol A)=2\cdot 0\cdot 5+0\cdot(-2)\cdot 1+1\cdot 3\cdot 4-1\cdot 0\cdot 1-0\cdot 3\cdot 5-2\cdot(-2)\cdot 4 =0+0+12-0-0+16=28. \]

Esercizio 10

Calcolare il determinante di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 4 & 1 & 0 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \in\R^{4\times 4} \]

scegliendo la riga o colonna che minimizza il numero di calcoli.

Soluzione

La seconda riga ha un solo elemento non nullo, \(a_{23}=2\). Sviluppando lungo la seconda riga:

\[ \det(\boldsymbol A)=a_{23}\,C_{23}=2\cdot(-1)^{2+3}\det(\boldsymbol A_{23})=-2\det(\boldsymbol A_{23}), \]

dove \(\boldsymbol A_{23}\) si ottiene eliminando la riga \(2\) e la colonna \(3\):

\[ \boldsymbol A_{23}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]

Sviluppiamo \(\det(\boldsymbol A_{23})\) lungo la sua terza riga, che contiene uno zero:

\[\begin{align*} \det(\boldsymbol A_{23}) &= 1\cdot(-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix} +0 +3\cdot(-1)^{3+3}\det\begin{pmatrix}1 & 2\\ 4 & 1\end{pmatrix}\\ &=1\cdot(4-3)+3\cdot(1-8)=1-21=-20. \end{align*}\]

Pertanto

\[ \det(\boldsymbol A)=-2\cdot(-20)=40. \]

Esercizio 11

Si considerino le matrici

\[ \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1\\ 0 & -3 & 4\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 7 & 2 & 0\\ -3 & 4 & 5 \end{pmatrix}. \]

1. Calcolare \(\det(\boldsymbol U)\) e \(\det(\boldsymbol L)\).

2. Senza calcolare alcun prodotto, trovare \(\det(\boldsymbol U\boldsymbol L)\), \(\det(\boldsymbol U')\), \(\det(3\boldsymbol U)\) e \(\det(\boldsymbol U^{-1})\). Perché \(\boldsymbol U^{-1}\) esiste?

3. Verificare che \( \begin{pmatrix}2 & -1\\ -5 & 3\end{pmatrix} \) è l'inversa di \( \boldsymbol A=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 5 & 2\end{pmatrix} \), e controllare che \(\det(\boldsymbol A^{-1})=1/\det(\boldsymbol A)\).

Soluzione

1. Entrambe le matrici sono triangolari, quindi il loro determinante è il prodotto degli elementi diagonali:

   \[ \det(\boldsymbol U)=2\cdot(-3)\cdot 1=-6, \qquad \det(\boldsymbol L)=1\cdot 2\cdot 5=10. \]

2. Usando le proprietà del determinante (con \(n=3\)):

   \[ \det(\boldsymbol U\boldsymbol L)=\det(\boldsymbol U)\det(\boldsymbol L)=-6\cdot 10=-60, \qquad \det(\boldsymbol U')=\det(\boldsymbol U)=-6, \]
   \[ \det(3\boldsymbol U)=3^3\det(\boldsymbol U)=27\cdot(-6)=-162. \]

   Poiché \(\det(\boldsymbol U)=-6\neq 0\), la matrice \(\boldsymbol U\) è invertibile, e \( \det(\boldsymbol U^{-1})=\frac{1}{\det(\boldsymbol U)}=-\frac{1}{6}. \)

3.

$$
\begin{pmatrix}3 & 1\\ 5 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2 & -1\\ -5 & 3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}6-5 & -3+3\\ 10-10 & -5+6\end{pmatrix}
=\boldsymbol I_2,
$$

$$
\begin{pmatrix}2 & -1\\ -5 & 3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 1\\ 5 & 2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}6-5 & 2-2\\ -15+15 & -5+6\end{pmatrix}
=\boldsymbol I_2.
$$

Quindi è l'inversa di \(\boldsymbol A\). Inoltre \(\det(\boldsymbol A)=3\cdot 2-1\cdot 5=1\) e \(\det(\boldsymbol A^{-1})=2\cdot 3-(-1)\cdot(-5)=1=\frac{1}{1}\).

Esercizio 12

Calcolare il rango delle seguenti matrici:

\[ \boldsymbol A_1=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 6\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol A_2=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol A_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}. \]

Soluzione

• \(\boldsymbol A_1\): la seconda colonna è il doppio della prima, \(\begin{pmatrix}2 & 6\end{pmatrix}'=2\begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}'\), quindi le due colonne sono linearmente dipendenti; la prima colonna è non nulla, quindi da sola è linearmente indipendente. Pertanto \(\mathrm{rank}(\boldsymbol A_1)=1\) (coerentemente, \(\det(\boldsymbol A_1)=6-6=0\)).

• \(\boldsymbol A_2\): la terza colonna è la somma delle prime due, \(\begin{pmatrix}3 & 1 & 4\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\end{pmatrix}'+\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\end{pmatrix}'\), quindi le tre colonne sono linearmente dipendenti e \(\mathrm{rank}(\boldsymbol A_2)\le 2\). Le prime due colonne sono linearmente indipendenti: \(\lambda_1\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\end{pmatrix}'+\lambda_2\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\end{pmatrix}'=\boldsymbol 0\) dà \(\lambda_2=0\) (secondo elemento) e poi \(\lambda_1=0\) (primo elemento). Quindi \(\mathrm{rank}(\boldsymbol A_2)=2\). Coerentemente, sviluppando lungo la prima riga, \(\det(\boldsymbol A_2)=1\cdot(4-3)-2\cdot(0-1)+3\cdot(0-1)=1+2-3=0\).

• \(\boldsymbol A_3\): sviluppando lungo la prima riga,

  \[ \det(\boldsymbol A_3)=1\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1)-0\cdot(0\cdot 0-1\cdot 1)+2\cdot(0\cdot 1-1\cdot 1)=-1-0-2=-3\neq 0. \]

  Poiché \(\boldsymbol A_3\) è quadrata e \(\det(\boldsymbol A_3)\neq 0\), si ha \(\mathrm{rank}(\boldsymbol A_3)=3\).