Autovalori e autovettori¶
Esercizi · Vettori e matrici · con le soluzioni svolte · Dispensa (PDF) · Capitolo 4.5: Autovalori e autovettori
Esercizio 1
Calcolare gli autovalori della matrice
e un autovettore associato a ciascun autovalore.
Soluzione
L'equazione caratteristica è
quindi \(\lambda_1=2\) e \(\lambda_2=5\).
Per \(\lambda_1=2\):
Per \(\lambda_2=5\):
Controllo: \(\boldsymbol A\boldsymbol v_1=(4-2,\;2-6)'=(2,-4)'=2\,\boldsymbol v_1\) e \(\boldsymbol A\boldsymbol v_2=(5,5)'=5\,\boldsymbol v_2\).
Esercizio 2
Calcolare gli autovalori e un autovettore per ciascun autovalore della matrice simmetrica
\(\boldsymbol Q\) è definita positiva?
Soluzione
L'equazione caratteristica è
quindi \(\lambda_1=1\) e \(\lambda_2=6\).
Per \(\lambda_1=1\):
Per \(\lambda_2=6\):
Poiché \(\boldsymbol Q\) è simmetrica ed entrambi gli autovalori sono strettamente positivi, \(\boldsymbol Q\) è definita positiva. (Si osservi anche che \(\boldsymbol v_1'\boldsymbol v_2=2-2=0\).)
Esercizio 3
Senza calcolare alcun determinante, trovare gli autovalori di
Trovare poi un autovettore per ciascun autovalore e controllare traccia e determinante.
Soluzione
\(\boldsymbol U\) è triangolare superiore, quindi i suoi autovalori sono i suoi elementi diagonali:
-
\(\lambda_1=3\): \((\boldsymbol U-3\boldsymbol I)\boldsymbol v=\boldsymbol 0\) dà \(v_2-2v_3=0\), \(-4v_2+4v_3=0\), \(-v_3=0\), quindi \(v_2=v_3=0\) e \(\boldsymbol v_1=(1,0,0)'\).
-
\(\lambda_2=-1\):
\[ (\boldsymbol U+\boldsymbol I)\boldsymbol v= \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2\\[0.5ex] 0 & 0 & 4\\[0.5ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \boldsymbol v=\boldsymbol 0 \Longrightarrow v_3=0,\ \ 4v_1+v_2=0, \qquad \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]-4\\[0.5ex]0\end{pmatrix}. \] -
\(\lambda_3=2\):
\[ (\boldsymbol U-2\boldsymbol I)\boldsymbol v= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\[0.5ex] 0 & -3 & 4\\[0.5ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \boldsymbol v=\boldsymbol 0 \Longrightarrow v_2=\tfrac{4}{3}v_3,\ \ v_1=-v_2+2v_3=\tfrac{2}{3}v_3. \]Scegliendo \(v_3=3\): \(\boldsymbol v_3=(2,4,3)'\).
Controllo: \(\operatorname{tr}(\boldsymbol U)=3-1+2=4=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\) e \(\det(\boldsymbol U)=3\cdot(-1)\cdot 2=-6=\lambda_1\,\lambda_2\,\lambda_3\).
Esercizio 4
Calcolare il polinomio caratteristico, gli autovalori e un autovettore per ciascun autovalore di
Classificare \(\boldsymbol Q\) (definita, semidefinita o indefinita).
Soluzione
Sviluppando lungo la prima riga:
Gli autovalori sono \(\lambda_1=-1\), \(\lambda_2=4\), \(\lambda_3=-3\).
-
\(\lambda_1=-1\): \((\boldsymbol Q+\boldsymbol I)\boldsymbol v=\boldsymbol 0\) con \(\boldsymbol Q+\boldsymbol I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 3\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}\) dà \(v_2=0\) e \(v_1+3v_3=0\): \(\boldsymbol v_1=(3,0,-1)'\).
-
\(\lambda_2=4\): \(\boldsymbol Q-4\boldsymbol I=\begin{pmatrix}-5 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 3\\ 0 & 3 & -5\end{pmatrix}\) dà \(v_2=5v_1\), \(v_3=\frac{3}{5}v_2=3v_1\) (e \(v_1-10v_1+9v_1=0\)): \(\boldsymbol v_2=(1,5,3)'\).
-
\(\lambda_3=-3\): \(\boldsymbol Q+3\boldsymbol I=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\ 1 & 5 & 3\\ 0 & 3 & 2\end{pmatrix}\) dà \(v_2=-2v_1\), \(v_3=-\frac{3}{2}v_2=3v_1\) (e \(v_1-10v_1+9v_1=0\)): \(\boldsymbol v_3=(1,-2,3)'\).
Controllo: \(\operatorname{tr}(\boldsymbol Q)=-1+2-1=0=-1+4-3\) e \(\det(\boldsymbol Q)=-1\cdot(-2-9)-1\cdot(-1-0)=12=(-1)\cdot 4\cdot(-3)\).
\(\boldsymbol Q\) è simmetrica con un autovalore positivo e uno negativo, quindi è indefinita.
Esercizio 5
La matrice
ha l'autovalore \(\lambda=3\) con molteplicità \(2\). Usando la traccia, trovare il terzo autovalore; poi controllare il risultato con il determinante e trovare un autovettore associato.
Soluzione
Gli autovalori, contati con la loro molteplicità, sono \(\lambda_1=\lambda_2=3\) e \(\lambda_3\). Poiché la traccia è la somma degli autovalori:
Controllo con il determinante (sviluppo di Laplace lungo la prima riga):
Autovettore per \(\lambda_3=6\):
Sommando le prime due equazioni: \(-3v_1-3v_2=0\), cioè \(v_2=-v_1\); poi dalla prima equazione \(v_3=2v_1+v_2=v_1\). Quindi \(\boldsymbol v=(1,-1,1)'\); infatti \(\boldsymbol Q\boldsymbol v=(4+1+1,\,-1-4-1,\,1+1+4)'=(6,-6,6)'=6\,\boldsymbol v\).
Esercizio 6
Usando gli autovalori, classificare le seguenti matrici simmetriche:
Soluzione
-
a) \((-3-\lambda)^2-1=\lambda^2+6\lambda+8=(\lambda+2)(\lambda+4)\): gli autovalori sono \(-2\) e \(-4\), entrambi strettamente negativi, quindi \(\boldsymbol Q_1\) è definita negativa.
-
b) \((1-\lambda)^2-9=\lambda^2-2\lambda-8=(\lambda-4)(\lambda+2)\): gli autovalori sono \(4\) e \(-2\), quindi \(\boldsymbol Q_2\) è indefinita.
-
c) \((2-\lambda)^2-4=\lambda^2-4\lambda=\lambda(\lambda-4)\): gli autovalori sono \(0\) e \(4\), entrambi non negativi, quindi \(\boldsymbol Q_3\) è semidefinita positiva (ma non definita positiva, poiché \(0\) è un autovalore).
Esercizio 7
Usando il criterio di Sylvester, dimostrare che la matrice
è definita positiva.
Soluzione
\(\boldsymbol Q\) è simmetrica e i suoi minori principali di guida sono
Tutti i minori principali di guida sono strettamente positivi, quindi \(\boldsymbol Q\) è definita positiva. (Qui il criterio di Sylvester è conveniente: gli autovalori di \(\boldsymbol Q\) sono \(2\) e \(2\pm\sqrt 2\), che non sono interi.)
Esercizio 8
Usando il criterio di Sylvester, classificare
Soluzione
\(\boldsymbol Q\) è simmetrica e i suoi minori principali di guida sono
I minori principali di guida hanno segni alterni a partire da uno negativo, quindi \(\boldsymbol Q\) è definita negativa. (Infatti, i suoi autovalori sono \(-1\), \(-2\) e \(-4\).)
Esercizio 9
Usando i minori principali, stabilire se le seguenti matrici simmetriche sono semidefinite positive:
Soluzione
-
a) I minori principali di guida sono \(\Delta_1=2\), \(\Delta_2=4-4=0\), \(\Delta_3=\det(\boldsymbol Q_a)=0\): \(\boldsymbol Q_a\) non è definita positiva. Controlliamo tutti i minori principali:
-
ordine 1: \(2,\ 2,\ 1\);
-
ordine 2: \(\det\begin{pmatrix}2 & -2\\ -2 & 2\end{pmatrix}=0\), \(\det\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2\), \(\det\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2\);
-
ordine 3: \(\det(\boldsymbol Q_a)=0\).
Sono tutti \(\ge 0\): \(\boldsymbol Q_a\) è semidefinita positiva. Infatti \(\boldsymbol x'\boldsymbol Q_a\boldsymbol x=2(x_1-x_2)^2+x_3^2\ge 0\), e gli autovalori sono \(0,1,4\).
-
-
b) I minori principali di guida sono \(\Delta_1=1\), \(\Delta_2=1-1=0\), \(\Delta_3=\det(\boldsymbol Q_b)=-1\cdot 0=0\): sono tutti \(\ge 0\), ma questo non basta. Il minore principale di ordine 1 dato dall'elemento \(q_{33}=-1\) è negativo, quindi \(\boldsymbol Q_b\) non è semidefinita positiva: per \(\boldsymbol x=(0,0,1)'\) si ha \(\boldsymbol x'\boldsymbol Q_b\boldsymbol x=-1<0\). Poiché per \(\boldsymbol x=(1,0,0)'\) si ha \(\boldsymbol x'\boldsymbol Q_b\boldsymbol x=1>0\), la matrice è indefinita (i suoi autovalori sono \(2,0,-1\)).
Esercizio 10
Sia \(k\in\R\) e
Per quali valori di \(k\) la matrice \(\boldsymbol Q(k)\) è definita positiva? Per quali valori è semidefinita positiva?
Soluzione
\(\boldsymbol Q(k)\) è simmetrica per ogni \(k\). I suoi minori principali di guida sono
Per il criterio di Sylvester, \(\boldsymbol Q(k)\) è definita positiva se e solo se
cioè se e solo se \(\boldsymbol{k>1}\).
Per la semidefinitezza positiva servono tutti i minori principali \(\ge 0\): ordine 1: \(2,\ k,\ 2\); ordine 2: \(2k-1\), \(\det\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=4\), \(2k-1\); ordine 3: \(4k-4\). Sono tutti \(\ge 0\) se e solo se \(k\ge 0\), \(k\ge\frac{1}{2}\) e \(k\ge 1\), cioè se e solo se \(\boldsymbol{k\ge 1}\). Per \(k=1\) la matrice è semidefinita positiva ma non definita positiva: i suoi autovalori sono \(0,2,3\).