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Produttorie

Somme e produttorie · Capitolo 2 · Dispensa (PDF) · Esercizi: Produttorie · Slide (PDF) · App: Somme e produttorie

1. Definizione

Definizione 1: produttoria

Dati \(n\) valori \(a_j \in \R\) con \(j \in \{1,2,\dots,n\}\), il prodotto

\[ a_1 \; a_2 \; {\rm \dots} \; a_n \]

può essere indicato in forma compatta con il simbolo di produttoria:

\[ \prod_{j=1}^n a_j \]

che si legge: “produttoria per \(j\) da \(1\) a \(n\) di \(a_j\)”. Il simbolo \(j\) è detto indice di produttoria.

  • Il simbolo di produttoria è quindi molto utile quando i termini \(a_j\) sono definiti esplicitamente in funzione dell'indice di produttoria \(j\).

Esempio 1: produttorie

\[\begin{align*} \prod_{j=1}^{10} \frac{1}{j} &~~=~~ 1 \; \frac{1}{2} \; \frac{1}{3} \; \frac{1}{4} \; \frac{1}{5} \; \frac{1}{6} \; \frac{1}{7} \; \frac{1}{8} \; \frac{1}{9} \; \frac{1}{10} \\[2ex] \prod_{j=3}^{n} j^2 &~~=~~ 3^2 \; 4^2 \; 5^2 \; {\rm \dots} \; n^2 \end{align*}\]

2. Proprietà

Osservazione 1: produttoria di un termine costante

Per ogni numero naturale \(n\ge 1\) e ogni numero reale \(c\), si ha:

\[\begin{equation} \label{P2} \prod_{j=1}^n c = c^n \end{equation}\]
Dimostrazione

Si ha:

\[ \underbrace{c\: \; c \; {\rm \dots} \; c\:}_{=\prod_{j=1}^n c, {\rm ~~~} c {\rm ~moltiplicato~} n {\rm ~volte}} = c^n \]

□

Osservazione 2: prodotto per una costante

Per ogni produttoria \(\prod_{j=1}^n a_j\) e ogni numero reale \(c\), si ha:

\[\begin{equation} \label{P1} \prod_{j=1}^n (c \; a_j) = c^n \: \prod_{j=1}^n a_j \end{equation}\]
Dimostrazione

Per le proprietà commutativa e associativa del prodotto, si ha:

\[ \underbrace{c\: a_1 \; c\: a_2 \; {\rm \dots} \; c\: a_n}_{=\prod_{j=1}^n (c \; a_j)} = \underbrace{\underbrace{(c\: \; c \; {\rm \dots} \; c)\:}_{=\prod_{j=1}^n c, {\rm ~~~} c {\rm ~moltiplicato~} n {\rm ~volte}} \; (a_1 \; a_2 \; {\rm \dots} \; a_n)}_{= c^n \: \prod_{j=1}^n a_j} \]

□

Osservazione 3: prodotto di produttorie

Per ogni coppia di produttorie \(\prod_{j=1}^n a_j\) e \(\prod_{j=1}^n b_j\), si ha:

\[\begin{equation} \label{P3} \prod_{j=1}^n a_j \; \prod_{j=1}^n b_j = \prod_{j=1}^n (a_j \; b_j) \end{equation}\]
Dimostrazione

Si ha:

\[ \underbrace{a_1 \; a_2 \; {\rm \dots} \; a_n \; b_1 \; b_2 \; {\rm \dots} \; b_n}_{=\prod_{j=1}^n a_j \; \prod_{j=1}^n b_j} = \underbrace{a_1 \; b_1 \; a_2 \; b_2 \; {\rm \dots} \; a_n \; b_n}_{=\prod_{j=1}^n (a_j \; b_j) } \]

□

Osservazione 4: scomposizione

Per ogni produttoria \(\prod_{j=1}^{n+m} a_j\), si ha:

\[\begin{align} \label{P4} \prod_{j=1}^{n+m} a_j &= \prod_{j=1}^n a_j \; \prod_{j=n+1}^{n+m} a_j \end{align}\]

Osservazione 5: traslazione dell'indice

Per ogni produttoria \(\prod_{j=1}^{n} a_j\) e ogni numero naturale \(m \ge 1\), si ha:

\[\begin{align} \label{P5} \prod_{j=1}^n a_j &= \prod_{j=1+m}^{n+m} a_{j-m} = \prod_{j=1-m}^{n-m} a_{j+m} \end{align}\]

Osservazione 6: riflessione dell'indice

Per ogni produttoria \(\prod_{j=1}^{n} a_j\), si ha:

\[\begin{align} \label{P6} \prod_{j=1}^n a_j &= \prod_{j=1}^n a_{n-j+1} = \prod_{j=0}^{n-1} a_{n-j} \end{align}\]
Dimostrazione

Le tre proprietà sono semplicemente notazioni diverse e/o riordinamenti dei fattori delle produttorie. □

3. Fattoriale

Definizione 2: fattoriale

Il fattoriale di un numero naturale \( n \), indicato con \( n! \), è il prodotto dei primi \( n \) numeri naturali positivi. Per convenzione, il fattoriale di 0 è definito uguale a \( 1 \).

  • Formalmente, il fattoriale è definito come segue:

    \[\begin{equation} n! = \begin{cases} 1 & \text{se~~} n = 0, \\[2ex] \prod_{j=1}^n j & \text{se~~} n \geq 1. \end{cases} \end{equation}\]

  • Non è nota una formula chiusa per il fattoriale, ma la formula di Stirling ne fornisce un'approssimazione asintotica.

Osservazione 7

Per ogni coppia di numeri naturali \(n \ge 0\) e \(k \in \{0,1,\dots, n\}\), si ha:

\[\begin{equation} \label{MM} \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{j=1}^{k} (n-j+1) = \prod_{j=n-k+1}^{n} j \end{equation}\]

  • La formula \(\eqref{MM}\) è il prodotto di \(k\) fattori, a partire da \(n\) e decrescendo di un'unità alla volta.

  • Per convenzione, una produttoria senza fattori (cioè con indice superiore minore dell'indice inferiore, come \(\prod_{j=1}^{0} a_j\)) è uguale a \(1\). Questa convenzione è coerente con \(0!=1\) e rende la formula \(\eqref{MM}\) valida anche per \(k=0\) e \(k=n\).

Dimostrazione

Si ha:

\[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{\prod_{j=1}^n j}{\prod_{j=1}^{n-k} j} = \frac{\prod_{j=1}^{n-k} j \; \prod_{j=n-k+1}^{n} j }{\prod_{j=1}^{n-k} j} = \prod_{j=n-k+1}^{n} j = \prod_{j=1}^{k} (n-j+1) \]

□

Esempio 2: uso dell'osservazione

\[ \frac{100!}{98!}= \frac{100!}{(100-2)!}=\prod_{j=1}^{2} (100-j+1)=100 \cdot 99 = 9.900 \]

Provalo nel laboratorio

lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.

Esercizi e laboratorio