Matrici

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1. Definizione e trasposta

Definizione 1: Matrice

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri reali con \(m\) righe e \(n\) colonne.

Data una matrice \(\boldsymbol{A}\in\R^{m\times n}\), scriviamo:

\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} [\boldsymbol A]_{1,1} & [\boldsymbol A]_{1,2} & \cdots & [\boldsymbol A]_{1,n}\\ [\boldsymbol A]_{2,1} & [\boldsymbol A]_{2,2} & \cdots & [\boldsymbol A]_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [\boldsymbol A]_{m,1} & [\boldsymbol A]_{m,2} & \cdots & [\boldsymbol A]_{m,n} \end{pmatrix} \qquad \text{oppure, per brevità,} \qquad \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}. \]

• Gli interi \(m\) e \(n\) sono le dimensioni della matrice: \(m\) è il numero di righe e \(n\) è il numero di colonne.

• La quantità \([\boldsymbol A]_{i,j}\) (o \(a_{ij}\)) denota l'elemento di \(\boldsymbol{A}\) di riga \(i\) e colonna \(j\), per \(i\in\{1,2,\dots,m\}\) e \(j\in\{1,2,\dots,n\}\).

Esempio 1: Matrice

La matrice

\[ \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 3} \]

è una matrice con \(m=2\) righe e \(n=3\) colonne, dove \(a_{11} = 1\), \(a_{12} = 2\), \(a_{13} = 3\), \(a_{21} = 4\), \(a_{22} = 5\) e \(a_{23} = 6\).

Definizione 2: Trasposta di una matrice

Data una matrice \(\boldsymbol A \in \R^{m \times n}\), la trasposta di \(\boldsymbol A\), denotata con \(\boldsymbol A'\), è la matrice \(n \times m\) ottenuta scambiando righe e colonne:

\[\begin{equation} \boldsymbol A'= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \R^{n \times m}. \end{equation}\]

• L'elemento in posizione \((i,j)\) della matrice trasposta \(\boldsymbol A'\) è:

  \[ a'_{ij} = a_{ji}, \quad \forall i \in \{1,2,\dots,n\},\; \forall j \in \{1,2,\dots,m\}. \]

Esempio 2: Trasposta di una matrice

Data la matrice

\[ \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 3}, \]

la sua trasposta è

\[ \boldsymbol A' = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \in \R^{3 \times 2}. \]

1.1 Righe e colonne

• La \(i\)-esima riga di una matrice \(\boldsymbol{A}\) si denota con

  \[ R_i(\boldsymbol{A}) \qquad \text{oppure} \qquad \boldsymbol{A}_i \]

• La \(j\)-esima colonna di una matrice \(\boldsymbol{A}\) si denota con

  \[ C_j(\boldsymbol{A}) \qquad \text{oppure} \qquad \boldsymbol{A}_j \]

• In entrambi i casi, possiamo usare semplicemente \(R_i\) o \(C_j\) quando la matrice è chiara dal contesto.

1.2 Sottomatrici complementari

• Sia \(\boldsymbol A\in\R^{n\times m}\) una matrice e siano \(i\in\{1,2,\dots,n\}\), \(j\in\{1,2,\dots,m\}\). Denotiamo con \(\boldsymbol A_{ij}\) la matrice \((n-1)\times(m-1)\) ottenuta da \(\boldsymbol A\) eliminando la riga \(i\) e la colonna \(j\). La matrice \(\boldsymbol A_{ij}\) è detta sottomatrice complementare dell'elemento \(a_{ij}\); il suo determinante \(\det(\boldsymbol A_{ij})\) è detto minore complementare di \(a_{ij}\).

Esempio 3: Sottomatrice complementare

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5\\ 3 & 4 & 7 & -1\\ 2 & 0 & -3 & 6\\ -4 & 1 & 2 & 8 \end{pmatrix}\in\R^{4\times 4}. \]

Per \(i=2\) e \(j=3\), la sottomatrice complementare \(\boldsymbol A_{23}\in\R^{3\times 3}\) si ottiene eliminando la riga \(2\) e la colonna \(3\):

\[ \boldsymbol A_{23}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\ 2 & 0 & 6\\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}. \]

2. Somma di matrici e prodotto per uno scalare

Date due matrici

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} }_{\boldsymbol A}\in\R^{m\times n} \quad \text{e} \quad \underbrace{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} }_{\boldsymbol B}\in\R^{m\times n} \]

la loro somma è la matrice

\[\begin{equation} {\boldsymbol A} + {\boldsymbol B} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} \end{equation}\]

Dati uno scalare \(\lambda\in\R\) e una matrice

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} }_{\boldsymbol A}\in\R^{m\times n} \]

il prodotto di \(\boldsymbol A\) per lo scalare \(\lambda\) è la matrice

\[\begin{equation} \lambda \boldsymbol A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation}\]

Esempio 4: Somma di matrici e prodotto per uno scalare

Consideriamo le matrici

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 4 & 5\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \in \R^{2\times 2}. \]

Allora

\[ \boldsymbol A+\boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1+4 & -2+5\\ 3+(-1) & 0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \]

e, per \(\lambda=-2\),

\[ \lambda \boldsymbol A = -2\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ -6 & 0 \end{pmatrix}. \]

2.1 Proprietà

Le principali proprietà della somma di matrici e del prodotto per uno scalare sono:

\[\begin{equation} \boldsymbol A+\boldsymbol B=\boldsymbol B+\boldsymbol A, \quad \forall \boldsymbol A,\boldsymbol B\in\R^{m\times n} \label{mat_sum_1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (\boldsymbol A+\boldsymbol B)+\boldsymbol C=\boldsymbol A+(\boldsymbol B+\boldsymbol C), \quad \forall \boldsymbol A,\boldsymbol B,\boldsymbol C\in\R^{m\times n} \label{mat_sum_2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol A+\boldsymbol 0=\boldsymbol A, \quad \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n} \label{mat_sum_3} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol A+(-\boldsymbol A)=\boldsymbol 0, \quad \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n} \label{mat_sum_4} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=\lambda\boldsymbol A+\lambda\boldsymbol B, \quad \forall \lambda\in\R,\; \forall \boldsymbol A,\boldsymbol B\in\R^{m\times n} \label{mat_scal_1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (\lambda+\mu)\boldsymbol A=\lambda\boldsymbol A+\mu\boldsymbol A, \quad \forall \lambda,\mu\in\R,\; \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n} \label{mat_scal_2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda(\mu\boldsymbol A)=(\lambda\mu)\boldsymbol A, \quad \forall \lambda,\mu\in\R,\; \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n} \label{mat_scal_3} \end{equation}\]

\[\begin{equation} 1\cdot \boldsymbol A=\boldsymbol A \quad \text{e} \quad 0\cdot \boldsymbol A=\boldsymbol 0, \quad \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n}. \label{mat_scal_4} \end{equation}\]

3. Prodotto di matrici

Date due matrici

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} }_{\boldsymbol A} \in \R^{m \times n} \quad \text{e} \quad \underbrace{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \end{pmatrix} }_{\boldsymbol B} \in \R^{n \times p} \]

il loro prodotto (righe per colonne) è la matrice

\[\begin{equation} {\boldsymbol A} {\boldsymbol B} = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n} a_{1j} b_{j1} & \sum_{j=1}^{n} a_{1j} b_{j2} & \cdots & \sum_{j=1}^{n} a_{1j} b_{jp}\\[2ex] \sum_{j=1}^{n} a_{2j} b_{j1} & \sum_{j=1}^{n} a_{2j} b_{j2} & \cdots & \sum_{j=1}^{n} a_{2j} b_{jp}\\[2ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1ex] \sum_{j=1}^{n} a_{mj} b_{j1} & \sum_{j=1}^{n} a_{mj} b_{j2} & \cdots & \sum_{j=1}^{n} a_{mj} b_{jp} \end{pmatrix} \in \R^{m \times p} \end{equation}\]

dove l'elemento in posizione \((i,k)\), cioè \([\boldsymbol A\boldsymbol B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}\), è il prodotto scalare della \(i\)-esima riga di \(\boldsymbol A\) e della \(k\)-esima colonna di \(\boldsymbol B\).

Esempio 5: Prodotto di matrici

Consideriamo le matrici

\[ \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 2} \qquad \text{e} \qquad \boldsymbol B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 2} \]

Il prodotto \(\boldsymbol A \boldsymbol B\) è:

\[\begin{align*} \boldsymbol A \boldsymbol B &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1\cdot 5 + 2\cdot 7 & 1\cdot 6 + 2\cdot 8 \\ 3\cdot 5 + 4\cdot 7 & 3\cdot 6 + 4\cdot 8 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \end{align*}\]

Il prodotto \(\boldsymbol B \boldsymbol A\) è:

\[\begin{align*} \boldsymbol B \boldsymbol A &= \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5\cdot 1 + 6\cdot 3 & 5\cdot 2 + 6\cdot 4 \\ 7\cdot 1 + 8\cdot 3 & 7\cdot 2 + 8\cdot 4 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix} \end{align*}\]

Esempio 6: Prodotto di matrici

Consideriamo le matrici

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix} \in \R^{2\times 3} \qquad \text{e} \qquad \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 3 & 5 \end{pmatrix} \in \R^{3\times 2} \]

Il prodotto \(\boldsymbol A\boldsymbol B\) è:

\[\begin{align*} \boldsymbol A\boldsymbol B &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 3 & 5 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 3 & 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + (-1)\cdot 5\\ 0\cdot 2 + 3\cdot(-1) + 4\cdot 3 & 0\cdot 1 + 3\cdot 0 + 4\cdot 5 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -3 & -4\\ 9 & 20 \end{pmatrix} \end{align*}\]

Il prodotto \(\boldsymbol B \boldsymbol A\) è:

\[\begin{align*} \boldsymbol B\boldsymbol A &= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 1\cdot 0 & 2\cdot 2 + 1\cdot 3 & 2\cdot (-1) + 1\cdot 4\\ -1\cdot 1 + 0\cdot 0 & -1\cdot 2 + 0\cdot 3 & -1\cdot (-1) + 0\cdot 4\\ 3\cdot 1 + 5\cdot 0 & 3\cdot 2 + 5\cdot 3 & 3\cdot (-1) + 5\cdot 4 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 2 & 7 & 2\\ -1 & -2 & 1\\ 3 & 21 & 17 \end{pmatrix} \end{align*}\]

In particolare, \(\boldsymbol A\boldsymbol B \neq \boldsymbol B\boldsymbol A\).

3.1 Proprietà

Le principali proprietà del prodotto di matrici (quando le dimensioni sono compatibili) sono:

\[\begin{equation} (\boldsymbol A \boldsymbol B)\boldsymbol C = \boldsymbol A(\boldsymbol B \boldsymbol C), \quad \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n},\; \boldsymbol B\in\R^{n\times p},\; \boldsymbol C\in\R^{p\times q} \label{mat_prod_1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol A(\boldsymbol B+\boldsymbol C)=\boldsymbol A\boldsymbol B+\boldsymbol A\boldsymbol C, \quad \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n},\; \boldsymbol B,\boldsymbol C\in\R^{n\times p} \label{mat_prod_2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (\boldsymbol A+\boldsymbol B)\boldsymbol C=\boldsymbol A\boldsymbol C+\boldsymbol B\boldsymbol C, \quad \forall \boldsymbol A,\boldsymbol B\in\R^{m\times n},\; \boldsymbol C\in\R^{n\times p} \label{mat_prod_3} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda(\boldsymbol A\boldsymbol B) = (\lambda \boldsymbol A)\boldsymbol B = \boldsymbol A(\lambda \boldsymbol B), \quad \forall \lambda\in\R,\; \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n},\; \boldsymbol B\in\R^{n\times p} \label{mat_prod_4} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol I_m \boldsymbol A=\boldsymbol A \quad \text{e} \quad \boldsymbol A \boldsymbol I_n=\boldsymbol A, \quad \forall \boldsymbol A\in\R^{m\times n} \label{mat_prod_5} \end{equation}\]

In generale, il prodotto di matrici non è commutativo:

\[\begin{equation} \boldsymbol A\boldsymbol B \neq \boldsymbol B\boldsymbol A \quad \text{in generale}. \label{mat_prod_6} \end{equation}\]

Provalo nel laboratorio

lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.

4. Matrici speciali

Definizione 3: Matrice quadrata

Una matrice \(\boldsymbol A\in\R^{m\times n}\) si dice matrice quadrata se ha lo stesso numero di righe e di colonne (\(m=n\)). In questo caso, \(\boldsymbol A\in\R^{n\times n}\) e ha la forma:

\[\begin{equation} \boldsymbol A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}. \end{equation}\]

Esempio 7: Matrice quadrata

Un esempio di matrice quadrata di ordine \(3\) è:

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 4 & 3 & 5\\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix} \in\R^{3\times 3}. \]

Definizione 4: Matrice identità

Una matrice quadrata \(\boldsymbol I_n\in\R^{n\times n}\) si dice matrice identità se ha elementi uguali a uno sulla diagonale principale e zero altrove. Ha la forma:

\[\begin{equation} \boldsymbol I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \end{equation}\]

• Equivalentemente, la matrice identità soddisfa

  \[ [\boldsymbol I_n]_{ij}= \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\ 0, & \text{se } i\neq j, \end{cases} \qquad \forall i,j\in\{1,2,\dots,n\}. \]

Esempio 8: Matrice identità

La matrice identità di ordine \(3\) è:

\[ \boldsymbol I_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in\R^{3\times 3}. \]

• Per ogni matrice \(\boldsymbol A \in \R^{m \times n}\) si ha:

  \[ \boldsymbol I_m \boldsymbol A = \boldsymbol A \qquad \text{e} \qquad \boldsymbol A \boldsymbol I_n = \boldsymbol A. \]

Definizione 5: Matrice diagonale

Una matrice quadrata \(\boldsymbol D\in\R^{n\times n}\) si dice diagonale se tutti i suoi elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli. Ha la forma:

\[\begin{equation} \boldsymbol D= \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}. \end{equation}\]

• Equivalentemente, una matrice diagonale soddisfa

  \[ d_{ij}=0,\qquad \forall i,j\in\{1,2,\dots,n\}\ \text{con}\ i\neq j. \]

Esempio 9: Matrice diagonale

La matrice

\[ \boldsymbol D= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \in\R^{3\times 3} \]

è diagonale.

Definizione 6: Matrice simmetrica

Una matrice quadrata \(\boldsymbol Q\in\R^{n\times n}\) si dice simmetrica se ha elementi uguali in posizioni simmetriche rispetto alla diagonale principale (cioè l'elemento in posizione \((i,j)\) è uguale all'elemento in posizione \((j,i)\)). Ha la forma:

\[\begin{equation} \boldsymbol Q= \begin{pmatrix} q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1n}\\ q_{12} & q_{22} & \cdots & q_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ q_{1n} & q_{2n} & \cdots & q_{nn} \end{pmatrix}. \end{equation}\]

• Equivalentemente, una matrice simmetrica soddisfa

  \[ q_{ij}=q_{ji},\qquad \forall i,j\in\{1,2,\dots,n\}. \]

• In forma matriciale, la simmetria si può scrivere come

  \[ \boldsymbol Q'=\boldsymbol Q. \]

Definizione 7: Matrice triangolare superiore

Una matrice quadrata \(\boldsymbol U\in\R^{n\times n}\) si dice triangolare superiore se tutti i suoi elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli. Ha la forma:

\[\begin{equation} \boldsymbol U= \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n}\\ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{pmatrix}. \end{equation}\]

• Equivalentemente, una matrice triangolare superiore soddisfa

  \[ u_{ij}=0,\qquad \forall i,j\in\{1,2,\dots,n\}\ \text{con}\ i>j. \]

Esempio 10: Matrice triangolare superiore

La matrice

\[ \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \in\R^{3\times 3} \]

è triangolare superiore.

Definizione 8: Matrice triangolare inferiore

Una matrice quadrata \(\boldsymbol L\in\R^{n\times n}\) si dice triangolare inferiore se tutti i suoi elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. Ha la forma:

\[\begin{equation} \boldsymbol L= \begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & \cdots & 0\\ \ell_{21} & \ell_{22}& \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \ell_{n1} & \ell_{n2}& \cdots & \ell_{nn} \end{pmatrix}. \end{equation}\]

• Equivalentemente, una matrice triangolare inferiore soddisfa

  \[ \ell_{ij}=0,\qquad \forall i,j\in\{1,2,\dots,n\}\ \text{con}\ i<j. \]

Esempio 11: Matrice triangolare inferiore

La matrice

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0\\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \in\R^{3\times 3} \]

è triangolare inferiore.

4.1 Matrici di permutazione

• Le matrici di permutazione sono matrici quadrate ottenute permutando le righe (o, equivalentemente, le colonne) della matrice identità. Codificano permutazioni di indici e realizzano riordinamenti di righe/colonne tramite il prodotto di matrici.

Dato un ordinamento (permutazione) \(\pi\) di \(\{1,\dots,n\}\), denotiamo con \(\boldsymbol P_{\pi}\) la matrice di permutazione ottenuta da \(\boldsymbol I_n\) riordinandone le righe secondo \(\pi\), cioè mettendo per prima la riga \(\pi(1)\), poi la riga \(\pi(2)\), \(\dots\), e infine la riga \(\pi(n)\).

• Riordinamento delle righe tramite moltiplicazione a sinistra. Date \(\boldsymbol A \in \R^{m \times n}\) e \(\boldsymbol P_{\pi} \in \R^{m \times m}\), la matrice

  \[ \boldsymbol P_{\pi}\boldsymbol A \]

  è formata dalle righe di \(\boldsymbol A\) riordinate secondo la permutazione \(\pi\) (la riga \(\pi(1)\) diventa la prima riga, la riga \(\pi(2)\) diventa la seconda riga, ecc.).

• Riordinamento delle colonne tramite moltiplicazione a destra. Date \(\boldsymbol A \in \R^{m \times n}\) e \(\boldsymbol P_{\pi} \in \R^{n \times n}\), la matrice

  \[ \boldsymbol A\boldsymbol P_{\pi}' \]

  (si noti la trasposta: \(\boldsymbol P_{\pi}'\) si ottiene da \(\boldsymbol I_n\) riordinandone le colonne secondo \(\pi\)) è formata dalle colonne di \(\boldsymbol A\) riordinate secondo la permutazione \(\pi\) (la colonna \(\pi(1)\) diventa la prima colonna, la colonna \(\pi(2)\) diventa la seconda colonna, ecc.).

Esempio 12: Riordinamento delle righe con una matrice di permutazione

Consideriamo la matrice

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix} \in \R^{3 \times 2}. \]

Dato l'ordinamento desiderato delle righe \(\pi=(3,1,2)\) (cioè prima la riga \(3\), poi la riga \(1\), poi la riga \(2\)), usiamo la matrice di permutazione \(\boldsymbol P_{\pi}\) ottenuta da \(\boldsymbol I_3\) riordinandone le righe come \((3,1,2)\):

\[ \boldsymbol P_{\pi}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \R^{3 \times 3}. \]

Allora:

\[ \boldsymbol P_{\pi}\boldsymbol A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \]

Le righe di \(\boldsymbol A\) sono state riordinate secondo \(\pi=(3,1,2)\).

Esempio 13: Riordinamento delle colonne con una matrice di permutazione

Consideriamo la matrice

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 3}. \]

Dato l'ordinamento desiderato delle colonne \(\pi=(2,3,1)\) (cioè prima la colonna \(2\), poi la colonna \(3\), poi la colonna \(1\)), usiamo la matrice di permutazione \(\boldsymbol P_{\pi}\) ottenuta da \(\boldsymbol I_3\) riordinandone le righe come \((2,3,1)\), e la sua trasposta:

\[ \boldsymbol P_{\pi}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol P_{\pi}'= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \R^{3 \times 3}. \]

Allora:

\[ \boldsymbol A\boldsymbol P_{\pi}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 5 & 6 & 4 \end{pmatrix}. \]

Le colonne di \(\boldsymbol A\) sono state riordinate secondo \(\pi=(2,3,1)\).

4.2 Matrici inverse

Definizione 9: matrice inversa

Una matrice quadrata \( \boldsymbol A \in \R^{n\times n} \) è invertibile se esiste una matrice \( \boldsymbol A^{-1} \in \R^{n\times n} \) tale che

\[ \boldsymbol A\,\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol I \qquad \text{e} \qquad \boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A = \boldsymbol I. \]

Tale matrice \( \boldsymbol A^{-1} \) è detta inversa di \( \boldsymbol A \).

• Se esiste, la matrice inversa \( \boldsymbol A^{-1} \) è unica.

4.3 Matrici semidefinite

Definizione 10: matrici semidefinite

Una matrice quadrata simmetrica \( \boldsymbol Q \in \R^{n \times n} \) è

• semidefinita positiva se

  \[ \boldsymbol x' \boldsymbol Q \, \boldsymbol x \ge 0, \qquad \forall \boldsymbol x \in \R^n \]

• definita positiva se

  \[ \boldsymbol x' \boldsymbol Q \, \boldsymbol x > 0, \qquad \forall \boldsymbol x \in \R^n \setminus \{\boldsymbol 0\} \]

• semidefinita negativa se

  \[ \boldsymbol x' \boldsymbol Q \, \boldsymbol x \le 0, \qquad \forall \boldsymbol x \in \R^n \]

• definita negativa se

  \[ \boldsymbol x' \boldsymbol Q \, \boldsymbol x < 0, \qquad \forall \boldsymbol x \in \R^n \setminus \{\boldsymbol 0\} \]

Esempio 14: matrice semidefinita positiva

• La matrice identità

  \[ \boldsymbol I= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1ex] 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

  è semidefinita positiva poiché:

  \[ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1ex] 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \\ \end{pmatrix} = x_1^2 + x_2^2 \ge 0, \qquad \forall \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \in \R^2. \]

• La matrice

  \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1ex] -1 & 2 \end{pmatrix} \]

  è semidefinita positiva poiché:

  \[\begin{align*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1ex] -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[1ex] x_2 \end{pmatrix} &= 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 \\[1ex] &= x_1^2 + (x_1 - x_2)^2 + x_2^2 \ge 0, \qquad \forall \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \in \R^2. \end{align*}\]

5. Determinante

• Determinante di una matrice \(1\times 1\). Sia

  \[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} a \end{pmatrix}\in\R^{1\times 1}. \]

  Allora

  \[\begin{equation} \det(\boldsymbol A)=a. \end{equation}\]

• Determinante di una matrice \(2\times 2\). Sia

  \[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\in\R^{2\times 2}. \]

  Allora

  \[\begin{equation} \det(\boldsymbol A)=ad-bc. \end{equation}\]

• Determinante di una matrice \(3\times 3\) (regola di Sarrus). Sia

  \[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}\in\R^{3\times 3}. \]

  Allora

  \[\begin{equation} \det(\boldsymbol A) = aei + bfg + cdh \;-\; ceg - bdi - afh. \end{equation}\]

Esempio 15: determinante di una matrice \(2\times2\)

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \]

Allora

\[ \det(\boldsymbol A)=2\cdot 4-(-1)\cdot 3=8+3=11. \]

Esempio 16: determinante di una matrice \(3\times3\)

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Con la regola di Sarrus:

\[ \det(\boldsymbol A) = 1\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 4\cdot 2 + 0\cdot 3\cdot (-1) - 0\cdot 1\cdot 2 - 2\cdot 3\cdot 1 - 1\cdot 4\cdot (-1). \]

Quindi

\[ \det(\boldsymbol A)=1+16+0-0-6+4=15. \]

5.1 Sviluppo di Laplace

Sia \(\boldsymbol A\in\R^{n\times n}\) una matrice quadrata. Il determinante \(\det(\boldsymbol A)\) può essere calcolato ricorsivamente mediante lo sviluppo di Laplace lungo una qualsiasi riga o colonna.

Per ogni riga \(i\in\{1,2,\dots,n\}\) si ha:

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij} \end{equation}\]

Per ogni colonna \(j\in\{1,2,\dots,n\}\) si ha:

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij} \end{equation}\]

dove \(C_{ij}\) è il cofattore (o complemento algebrico) dell'elemento \(a_{ij}\), definito da

\[\begin{equation} C_{ij}=(-1)^{i+j}\,\det(\boldsymbol A_{ij}) \end{equation}\]

dove \(\boldsymbol A_{ij}\) è la sottomatrice complementare ottenuta da \(\boldsymbol A\) eliminando la riga \(i\) e la colonna \(j\) (quindi \(\det(\boldsymbol A_{ij})\) è il minore complementare di \(a_{ij}\)).

Esempio 17: Determinante mediante lo sviluppo di Laplace

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3\\ -1 & 1 & 3\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Sviluppiamo lungo la seconda colonna (contiene uno zero):

\[ \det(\boldsymbol A) = 2\,C_{12}+1\,C_{22}+0\cdot C_{32}. \]

Calcoliamo i cofattori:

\[ C_{12}=(-1)^{1+2}\det \begin{pmatrix} -1 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} = -\,\bigl((-1)(-1)-2\cdot 3\bigr) = -\,\bigl(1-6\bigr)=5, \]

\[ C_{22}=(-1)^{2+2}\det \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \bigl((-2)(-1)-2(-3)\bigr) = 2+6=8. \]

Pertanto,

\[ \det(\boldsymbol A)=2\cdot 5+1\cdot 8=18. \]

5.2 Determinante di matrici triangolari e diagonali

• Per le matrici triangolari (superiori o inferiori), il determinante ha una forma particolarmente semplice: è il prodotto degli elementi diagonali.

Se \(\boldsymbol U \in \R^{n \times n}\) è una matrice triangolare superiore, allora

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol U) = \prod_{i=1}^{n} u_{ii}. \end{equation}\]

Se \(\boldsymbol L \in \R^{n \times n}\) è una matrice triangolare inferiore, allora

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol L) = \prod_{i=1}^{n} \ell_{ii}. \end{equation}\]

• In particolare, per una matrice diagonale \(\boldsymbol D \in \R^{n \times n}\):

  \[ \det(\boldsymbol D) = \prod_{i=1}^{n} d_{ii}. \]

• Per la matrice identità \(\boldsymbol I_n\):

  \[ \det(\boldsymbol I_n) = 1. \]

Esempio 18: Determinante di una matrice triangolare superiore

Sia

\[ \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\ 0 & -4 & 5\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]

Allora

\[ \det(\boldsymbol U) = 2 \cdot (-4) \cdot 3 = -24. \]

Esempio 19: Determinante di una matrice triangolare inferiore

Sia

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -1 & 4 & -2 \end{pmatrix}. \]

Allora

\[ \det(\boldsymbol L) = 1 \cdot 3 \cdot (-2) = -6. \]

Esempio 20: Determinante di una matrice diagonale

Sia

\[ \boldsymbol D= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]

Allora

\[ \det(\boldsymbol D) = 5 \cdot (-2) \cdot 3 = -30. \]

5.3 Proprietà del determinante

• Il determinante soddisfa diverse importanti proprietà algebriche che ne rendono più efficienti il calcolo e l'utilizzo.

Siano \(\boldsymbol A, \boldsymbol B \in \R^{n \times n}\) matrici quadrate e \(\lambda \in \R\) uno scalare. Allora:

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol A \boldsymbol B) = \det(\boldsymbol A) \cdot \det(\boldsymbol B) \label{det_prod} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol A') = \det(\boldsymbol A) \label{det_transpose} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \det(\lambda \boldsymbol A) = \lambda^n \det(\boldsymbol A) \label{det_scalar} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol A^{-1}) = \frac{1}{\det(\boldsymbol A)}, \quad \text{se } \boldsymbol A \text{ è invertibile} \label{det_inverse} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \det(\boldsymbol I_n) = 1 \label{det_identity} \end{equation}\]

• Dalle proprietà \(\eqref{det_prod}\) e \(\eqref{det_identity}\), se \(\boldsymbol A\) è invertibile:

  \[ \det(\boldsymbol A) \cdot \det(\boldsymbol A^{-1}) = \det(\boldsymbol A \boldsymbol A^{-1}) = \det(\boldsymbol I_n) = 1, \]

  da cui segue la proprietà \(\eqref{det_inverse}\).

• La proprietà \(\eqref{det_scalar}\) mostra che il prodotto per uno scalare agisce sul determinante tramite la potenza \(n\)-esima dello scalare (non linearmente).

• La proprietà \(\eqref{det_transpose}\) implica che le operazioni sulle righe e quelle sulle colonne hanno effetti simmetrici sul determinante.

Esempio 21: Determinante di un prodotto

Siano

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}. \]

Si ha:

\[ \det(\boldsymbol A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 0 = 6, \qquad \det(\boldsymbol B) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 4 = 6. \]

Il prodotto è:

\[ \boldsymbol A \boldsymbol B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 12 & 6 \end{pmatrix}. \]

Allora:

\[ \det(\boldsymbol A \boldsymbol B) = 6 \cdot 6 - 0 \cdot 12 = 36 = \det(\boldsymbol A) \cdot \det(\boldsymbol B). \]

Esempio 22: Determinante della trasposta

Siano

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol A'= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}. \]

Si ha:

\[ \det(\boldsymbol A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2, \qquad \det(\boldsymbol A') = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -2. \]

Pertanto, \(\det(\boldsymbol A') = \det(\boldsymbol A)\).

Esempio 23: Determinante del prodotto per uno scalare

Siano

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in \R^{2 \times 2}, \qquad \lambda = 2. \]

Allora:

\[ \lambda \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}. \]

Si ha:

\[ \det(\boldsymbol A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2, \qquad \det(\lambda \boldsymbol A) = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 6 = -8. \]

Poiché \(n=2\), verifichiamo:

\[ \det(\lambda \boldsymbol A) = -8 = 2^2 \cdot (-2) = \lambda^2 \det(\boldsymbol A). \]

Esempio 24: Determinante dell'inversa

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Si ha:

\[ \det(\boldsymbol A) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1. \]

La matrice inversa è:

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Allora:

\[ \det(\boldsymbol A^{-1}) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 1 = \frac{1}{\det(\boldsymbol A)}. \]

Una matrice \( \boldsymbol A \) è invertibile se e solo se \( \det(\boldsymbol A)\neq 0 \).

Provalo nel laboratorio

lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.

6. Rango

Definizione 11: rango di una matrice

Sia \( \boldsymbol A \in \R^{m\times n} \). Il rango di \( \boldsymbol A \), denotato con \( \mathrm{rank}(\boldsymbol A) \), è il numero massimo di colonne linearmente indipendenti di \( \boldsymbol A \).

• Le colonne di \(\boldsymbol A\) sono vettori di \(\R^{m}\), e l'indipendenza lineare è intesa nel senso della definizione data nel capitolo sui vettori: \(\boldsymbol v_1,\dots,\boldsymbol v_k\) sono linearmente indipendenti se \(\lambda_1\boldsymbol v_1+\dots+\lambda_k\boldsymbol v_k=\boldsymbol 0\) implica \(\lambda_1=\dots=\lambda_k=0\).

• Equivalentemente, \( \mathrm{rank}(\boldsymbol A) \) è il numero massimo di righe linearmente indipendenti di \( \boldsymbol A \).

• Si ha sempre

  \[ \mathrm{rank}(\boldsymbol A)\le \min\{m,n\}. \]

• Se \( \boldsymbol A \in \R^{n\times n} \) è quadrata, allora

  \[ \mathrm{rank}(\boldsymbol A)=n \quad \Longleftrightarrow \quad \det(\boldsymbol A)\neq 0. \]

Esempio 25: rango di una matrice

Sia

\[ \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\in\R^{2\times 3}. \]

La seconda riga è un multiplo della prima:

\[ \begin{pmatrix}2 & 4 & 6\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}. \]

Quindi le due righe sono linearmente dipendenti, e c'è una sola riga linearmente indipendente. Pertanto,

\[ \mathrm{rank}(\boldsymbol B)=1. \]

Esempio 26: rango di una matrice \(3\times 3\)

Sia

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\in\R^{3\times 3}. \]

La terza colonna è la somma delle prime due:

\[ C_3(\boldsymbol A)= \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} =C_1(\boldsymbol A)+C_2(\boldsymbol A), \]

quindi le tre colonne sono linearmente dipendenti e \(\mathrm{rank}(\boldsymbol A)\le 2\). D'altra parte, le prime due colonne sono linearmente indipendenti: \(\lambda_1 C_1(\boldsymbol A)+\lambda_2 C_2(\boldsymbol A)=\boldsymbol 0\) dà \(\lambda_1=0\) (primo elemento) e \(\lambda_2=0\) (terzo elemento). Pertanto,

\[ \mathrm{rank}(\boldsymbol A)=2. \]

Coerentemente, sviluppando lungo la prima riga, \(\det(\boldsymbol A)=1\cdot(1\cdot 1-3\cdot 1)-0+1\cdot(2\cdot 1-1\cdot 0)=-2+2=0\).

Provalo nel laboratorio

lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.

Esercizi e laboratorio

• Esercizi · il foglio di esercizi di questo capitolo: 12 esercizi con le soluzioni svolte
• Laboratorio · Prodotto di matrici — Riga per colonna, un elemento alla volta.
• Laboratorio · Determinante — sviluppo di Laplace lungo la riga o colonna che scegli, oppure regola di Sarrus
• Laboratorio · Rango — Il rango come numero di pivot della forma a scala.