Fattorizzazione di matrici¶

Esercizi · Vettori e matrici · con le soluzioni svolte · Dispensa (PDF) · Capitolo 4.4: Fattorizzazione di matrici

Esercizio 1

Calcolare la fattorizzazione LU di \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 6 & 3 \end{pmatrix} \) e verificare che \(\boldsymbol L\boldsymbol U = \boldsymbol A\).

Soluzione

Il primo pivot è \(a_{11} = 4\) e il moltiplicatore è \(\ell_{21} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 6 & 3 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{cc} 4 & 3 \\[1ex] 0 & -\tfrac{3}{2} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{3}{2}R_1 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[0.5ex] \tfrac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 4 & 3\\[0.5ex] 0 & -\tfrac{3}{2} \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol L\boldsymbol U= \begin{pmatrix} 4 & 3\\[0.5ex] \tfrac{3}{2}\cdot 4 & \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 6 & 3 \end{pmatrix} = \boldsymbol A. \]

Esercizio 2

Calcolare la fattorizzazione LU di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 8 & 13 \end{pmatrix} \]

e verificare che \(\boldsymbol L\boldsymbol U = \boldsymbol A\).

Soluzione

I moltiplicatori sono \(\ell_{21} = \frac{2}{1} = 2\), \(\ell_{31} = \frac{3}{1} = 3\) e, dopo il primo passo, \(\ell_{32} = \frac{2}{1} = 2\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 8 & 13 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 8 & 13 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Verifica:

\[ \boldsymbol L\boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4+1 & 6+1\\ 3 & 6+2 & 9+2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 8 & 13 \end{pmatrix} = \boldsymbol A. \]

Esercizio 3

Si consideri

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2\\ 1 & -1 & 5\\ -1 & 7 & 1 \end{pmatrix}. \]

Verificare, mediante i minori principali di testa, che \(\boldsymbol A\) ammette una fattorizzazione LU senza scambi di righe.
Calcolare la fattorizzazione LU e verificare che i pivot sono \(u_{kk} = \det(\boldsymbol A_{[k]})/\det(\boldsymbol A_{[k-1]})\).

Soluzione

\(\det(\boldsymbol A_{[1]}) = 2\), \(\det(\boldsymbol A_{[2]}) = 2\cdot(-1) - 4\cdot 1 = -6\) e, sviluppando con Laplace lungo la prima riga,

\[ \det(\boldsymbol A_{[3]}) = \det(\boldsymbol A) = 2\cdot(-1-35) - 4\cdot(1+5) + (-2)\cdot(7-1) = -72 - 24 - 12 = -108. \]

Tutti i minori principali di testa sono non nulli, quindi la fattorizzazione LU esiste.
I moltiplicatori sono \(\ell_{21} = \frac{1}{2}\), \(\ell_{31} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\) e, dopo il primo passo, \(\ell_{32} = \frac{9}{-3} = -3\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 5 \\ -1 & 7 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ -1 & 7 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 9 & 0 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{1}{2}R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 18 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[0.5ex] \tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[0.5ex] -\tfrac{1}{2} & -3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2\\ 0 & -3 & 6\\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}. \]

Infatti \(u_{11} = 2\), \(u_{22} = \frac{-6}{2} = -3\) e \(u_{33} = \frac{-108}{-6} = 18\). Verifica:

\[ \boldsymbol L\boldsymbol U= \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2\\ 1 & 2-3 & -1+6\\ -1 & -2+9 & 1-18+18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2\\ 1 & -1 & 5\\ -1 & 7 & 1 \end{pmatrix} = \boldsymbol A. \]

Esercizio 4

Si consideri

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Mostrare che \(\boldsymbol A\) è non singolare ma non ammette una fattorizzazione LU senza scambi di righe. Calcolare quindi una fattorizzazione PLU \(\boldsymbol P\boldsymbol A = \boldsymbol L\boldsymbol U\) e verificarla.

Soluzione

Si ha \(\det(\boldsymbol A) = 1\cdot(4-1) - 2\cdot(2-0) + 0 = -1 \neq 0\), ma \(\det(\boldsymbol A_{[2]}) = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0\): la fattorizzazione LU senza scambi di righe non esiste.

Eliminazione di Gauss: \(\ell_{21} = 2\) e \(\ell_{31} = 0\) (l'elemento \(a_{31}\) è già nullo). A questo punto l'elemento in posizione \((2,2)\) è nullo e scambiamo le righe 2 e 3, scambiando anche i moltiplicatori (ora \(\ell_{21} = 0\), \(\ell_{31} = 2\)):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftrightarrow R_3 \text{)} \end{align*}\]

L'elemento al di sotto del secondo pivot è già nullo, quindi \(\ell_{32} = 0\). Quindi

\[ \boldsymbol P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Verifica:

\[ \boldsymbol P\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol L\boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 0+1 \end{pmatrix} = \boldsymbol P\boldsymbol A. \]

Esercizio 5

Calcolare una fattorizzazione PLU di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}, \]

verificare che \(\boldsymbol P\boldsymbol A = \boldsymbol L\boldsymbol U\) e calcolare \(\det(\boldsymbol A)\) a partire da \(\boldsymbol U\).

Soluzione

Poiché \(a_{11} = 0\), scambiamo le righe 1 e 2 (non è stato ancora calcolato alcun moltiplicatore). Allora \(\ell_{21} = \frac{0}{2} = 0\), \(\ell_{31} = \frac{4}{2} = 2\) e, dopo il primo passo, \(\ell_{32} = \frac{3}{1} = 3\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 4 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 4 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftrightarrow R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol P= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}. \]

Verifica:

\[ \boldsymbol P\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol L\boldsymbol U= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 4 & 2+3 & 6+3-5 \end{pmatrix} = \boldsymbol P\boldsymbol A. \]

È stato effettuato uno scambio di righe (\(s=1\)), quindi \(\det(\boldsymbol A) = -(2\cdot 1\cdot(-5)) = 10\).

Esercizio 6

Calcolare la fattorizzazione LU di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 6 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \]

e utilizzarla per calcolare \(\det(\boldsymbol A)\) e \(\det(\boldsymbol A^{-1})\).

Soluzione

I moltiplicatori sono \(\ell_{21} = \frac{6}{3} = 2\) e \(\ell_{31} = \frac{3}{3} = 1\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \text{)} \end{align*}\]

L'elemento in posizione \((3,2)\) è già nullo, quindi \(\ell_{32} = 0\) e

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]

Non sono stati effettuati scambi di righe, quindi

\[ \det(\boldsymbol A) = \det(\boldsymbol L)\det(\boldsymbol U) = 1\cdot(3\cdot 1\cdot 3) = 9, \qquad \det(\boldsymbol A^{-1}) = \frac{1}{9}. \]

Esercizio 7

Si consideri, per \(k\in\R\), la matrice

\[ \boldsymbol A(k)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & k & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Per quali valori di \(k\) la matrice \(\boldsymbol A(k)\) è non singolare e ammette una fattorizzazione LU senza scambi di righe? Calcolarla.
Per \(k = 1\), calcolare una fattorizzazione PLU.

Soluzione

I minori principali di testa sono

\[ \det(\boldsymbol A_{[1]}) = 1, \quad \det(\boldsymbol A_{[2]}) = k - 1, \quad \det(\boldsymbol A_{[3]}) = 1\cdot(k-1) - 1\cdot(1-0) + 0 = k-2. \]

Sono tutti non nulli se e solo se \(k\neq 1\) e \(k\neq 2\). Per tali valori, \(\ell_{21} = 1\), \(\ell_{31} = 0\) e \(\ell_{32} = \frac{1}{k-1}\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & k-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & k-1 & 1 \\ 0 & 0 & \tfrac{k-2}{k-1} \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{k-1}R_2 \text{)} \end{align*}\]

poiché \(1 - \frac{1}{k-1} = \frac{k-2}{k-1}\). Quindi

\[ \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[0.5ex] 1 & 1 & 0\\[0.5ex] 0 & \tfrac{1}{k-1} & 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[0.5ex] 0 & k-1 & 1\\[0.5ex] 0 & 0 & \tfrac{k-2}{k-1} \end{pmatrix}, \]

e infatti \(u_{11}u_{22}u_{33} = k-2 = \det(\boldsymbol A(k))\). Per \(k=2\) la matrice è singolare.
Per \(k=1\) si ha \(\det(\boldsymbol A(1)) = -1 \neq 0\) ma \(\det(\boldsymbol A_{[2]}) = 0\). Dopo \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\) (\(\ell_{21} = 1\), \(\ell_{31} = 0\)) l'elemento in posizione \((2,2)\) è nullo, quindi scambiamo le righe 2 e 3 insieme ai rispettivi moltiplicatori (ora \(\ell_{21} = 0\), \(\ell_{31} = 1\)):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftrightarrow R_3 \text{)} \end{align*}\]

Allora \(\ell_{32} = 0\) e

\[ \boldsymbol P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

e

\[ \boldsymbol P\boldsymbol A(1) = \boldsymbol L\boldsymbol U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]