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Inversione di matrici

Esercizi · Vettori e matrici · con le soluzioni svolte · Dispensa (PDF) · Capitolo 4.3: Inversione di matrici

Esercizio 1

Usando la formula per l'inversa di una matrice \(2\times 2\), calcolare (se esiste) l'inversa di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol C= \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & 6 \end{pmatrix}. \]
Soluzione

Ricordiamo che, se \(ad-bc\neq 0\), \(\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\).

  • \(\det(\boldsymbol A) = 3\cdot 2 - 5\cdot 1 = 1\), quindi

    \[ \boldsymbol A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5\\ -1 & 3\end{pmatrix}. \qquad \text{Verifica: } \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -5\\ -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-5 & -15+15\\ 2-2 & -5+6\end{pmatrix} = \boldsymbol I. \]

  • \(\det(\boldsymbol B) = 4\cdot 4 - 2\cdot 3 = 10\), quindi

    \[ \boldsymbol B^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[0.8ex] -\tfrac{3}{10} & \tfrac{2}{5}\end{pmatrix}. \]

  • \(\det(\boldsymbol C) = 2\cdot 6 - 4\cdot 3 = 0\): la matrice \(\boldsymbol C\) è singolare e \(\boldsymbol C^{-1}\) non esiste (la seconda riga è \(\tfrac{3}{2}\) volte la prima).

Esercizio 2

Calcolare l'inversa di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

con il metodo di Gauss–Jordan e verificare il risultato.

Soluzione

Applichiamo operazioni elementari di riga a \(\left(\boldsymbol A \mid \boldsymbol I\right)\):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 + R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_3 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\ -2 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Verifica (prodotto righe per colonne): \(\boldsymbol A\boldsymbol A^{-1} = \begin{pmatrix} 3-2 & -2+2 & 1-1\\ 3-4+1 & -2+4-1 & 1-2+1\\ -2+2 & 2-2 & -1+2 \end{pmatrix} = \boldsymbol I\).

Esercizio 3

Calcolare l'inversa di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \]

con il metodo di Gauss–Jordan.

Soluzione

Poiché \(a_{11}=0\), iniziamo con uno scambio di righe. Successivamente, scambiamo le righe 2 e 3 per ottenere un pivot uguale a \(1\) (ed evitare le frazioni):

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftrightarrow R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftrightarrow R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 4 & -2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -4 & 2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow -R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -4 & 2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 + R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -4 & 2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_3 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & -4 & 2 \end{pmatrix}. \]

Esercizio 4

Applicare il metodo di Gauss–Jordan a

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}. \]

La matrice \(\boldsymbol A\) è invertibile?

Soluzione
\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \text{)} \end{align*}\]

Nel blocco sinistro compare una riga nulla: il metodo si arresta e \(\boldsymbol A\) non è invertibile. Infatti, la terza riga di \(\boldsymbol A\) è la somma delle prime due righe, e

\[ \det(\boldsymbol A) = 1\cdot(0-5) - 2\cdot(0-3) + (-1)\cdot(10-9) = -5 + 6 - 1 = 0. \]

Esercizio 5

Si consideri, per \(k\in\R\), la matrice

\[ \boldsymbol A(k)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & k & 1\\ 1 & 1 & k^2 \end{pmatrix}. \]

  1. Per quali valori di \(k\) la matrice \(\boldsymbol A(k)\) è invertibile?

  2. Calcolare \(\boldsymbol A(0)^{-1}\) con il metodo di Gauss–Jordan.

Soluzione

  1. Calcoliamo \(\det(\boldsymbol A(k))\) mediante eliminazione di Gauss (solo somme di multipli di righe):

    \[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k^2 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & k-1 & 0 \\ 1 & 1 & k^2 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & k-1 & 0 \\ 0 & 0 & k^2-1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \text{)} \end{align*}\]

    L'ultima matrice è triangolare superiore, quindi

    \[ \det(\boldsymbol A(k)) = 1\cdot(k-1)\cdot(k^2-1) = (k-1)^2(k+1). \]

    Pertanto \(\boldsymbol A(k)\) è invertibile se e solo se \(k\neq 1\) e \(k\neq -1\).

  2. Per \(k=0\) si ha \(\det(\boldsymbol A(0)) = 1\), e:

    \[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow -R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_3 \leftarrow -R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - R_3 \text{)} \end{align*}\]

    Quindi

    \[ \boldsymbol A(0)^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Esercizio 6

Si consideri, per \(k\in\R\), la matrice \( \boldsymbol A(k)= \begin{pmatrix} k & 1\\ 4 & k \end{pmatrix}. \) Per quali valori di \(k\) la matrice \(\boldsymbol A(k)\) è invertibile? Per tali valori, scrivere \(\boldsymbol A(k)^{-1}\) e calcolare \(\boldsymbol A(3)^{-1}\).

Soluzione

Si ha \(\det(\boldsymbol A(k)) = k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\), quindi \(\boldsymbol A(k)\) è invertibile se e solo se \(k\neq 2\) e \(k\neq -2\). In questo caso

\[ \boldsymbol A(k)^{-1} = \frac{1}{k^2-4} \begin{pmatrix} k & -1\\ -4 & k \end{pmatrix}. \]

Per \(k=3\): \(\det(\boldsymbol A(3)) = 5\) e

\[ \boldsymbol A(3)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -4 & 3 \end{pmatrix}. \]

Esercizio 7

Calcolare l'inversa di

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \]

con la formula della matrice aggiunta (dei cofattori) \(\boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{\det(\boldsymbol A)}\,\mathrm{adj}(\boldsymbol A)\).

Soluzione

Sviluppo di Laplace lungo la prima riga: \(\det(\boldsymbol A) = 2\cdot(1-0) - 0 + 1\cdot(3-0) = 5\neq 0\). I cofattori \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(\boldsymbol A_{ij})\) sono:

\[\begin{align*} C_{11} &= +\det\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1\end{pmatrix} = 1, & C_{12} &= -\det\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -1, & C_{13} &= +\det\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix} = 3,\\[1ex] C_{21} &= -\det\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 3 & 1\end{pmatrix} = 3, & C_{22} &= +\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 2, & C_{23} &= -\det\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix} = -6,\\[1ex] C_{31} &= +\det\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} = -1, & C_{32} &= -\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} = 1, & C_{33} &= +\det\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 2. \end{align*}\]

La matrice aggiunta è la trasposta della matrice dei cofattori:

\[ \mathrm{adj}(\boldsymbol A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\ 3 & 2 & -6\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\ -1 & 2 & 1\\ 3 & -6 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\ -1 & 2 & 1\\ 3 & -6 & 2 \end{pmatrix}. \]

Esercizio 8

Siano \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) e \( \boldsymbol B= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 3 \end{pmatrix}. \)

  1. Calcolare \(\boldsymbol A^{-1}\), \(\boldsymbol B^{-1}\) e poi \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}\) usando le proprietà dell'inversa. Verificare il risultato invertendo direttamente \(\boldsymbol A\boldsymbol B\).

  2. Mostrare che \(\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^{-1} \neq (\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}\).

  3. Calcolare \((\boldsymbol B')^{-1}\) e \(\det\big((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}\big)\).

Soluzione

  1. \(\det(\boldsymbol A) = 1\) e \(\det(\boldsymbol B) = 3\), quindi

    \[ \boldsymbol A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol B^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \]
    \[ (\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1} = \boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 5 & -7\\ -1 & 2\end{pmatrix}. \]

    Verifica: \(\boldsymbol A\boldsymbol B = \begin{pmatrix} 2 & 7\\ 1 & 5\end{pmatrix}\), \(\det(\boldsymbol A\boldsymbol B) = 10-7 = 3\), e la formula per le matrici \(2\times 2\) fornisce \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 5 & -7\\ -1 & 2\end{pmatrix}\).

  2. \(\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -3\\ -3 & 4\end{pmatrix} \neq (\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}\).

  3. \((\boldsymbol B')^{-1} = (\boldsymbol B^{-1})' = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix}\) (verifica con la formula per le matrici \(2\times 2\) applicata a \(\boldsymbol B' = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3\end{pmatrix}\)). Inoltre

    \[ \det\big((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}\big) = \frac{1}{\det(\boldsymbol A\boldsymbol B)} = \frac{1}{\det(\boldsymbol A)\det(\boldsymbol B)} = \frac{1}{3}. \]

Esercizio 9

  1. Siano \(\boldsymbol A\in\R^{n\times n}\) invertibile e \(\lambda\in\R\), \(\lambda\neq 0\). Mostrare che \(\lambda\boldsymbol A\) è invertibile e \((\lambda\boldsymbol A)^{-1} = \frac{1}{\lambda}\boldsymbol A^{-1}\).

  2. Sia \(\boldsymbol A\in\R^{n\times n}\) tale che \(\boldsymbol A^2 - 3\boldsymbol A + \boldsymbol I = \boldsymbol 0\). Mostrare che \(\boldsymbol A\) è invertibile e \(\boldsymbol A^{-1} = 3\boldsymbol I - \boldsymbol A\). Verificarlo per \(\boldsymbol A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).

Soluzione

  1. Usando le proprietà del prodotto per uno scalare:

    \[ (\lambda\boldsymbol A)\Big(\tfrac{1}{\lambda}\boldsymbol A^{-1}\Big) = \lambda\cdot\tfrac{1}{\lambda}\,\boldsymbol A\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol I, \qquad \Big(\tfrac{1}{\lambda}\boldsymbol A^{-1}\Big)(\lambda\boldsymbol A) = \tfrac{1}{\lambda}\cdot\lambda\,\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A = \boldsymbol I. \]

  2. Da \(\boldsymbol A^2 - 3\boldsymbol A + \boldsymbol I = \boldsymbol 0\) si ottiene \(3\boldsymbol A - \boldsymbol A^2 = \boldsymbol I\), cioè

    \[ \boldsymbol A(3\boldsymbol I - \boldsymbol A) = \boldsymbol I \quad\text{e}\quad (3\boldsymbol I - \boldsymbol A)\boldsymbol A = \boldsymbol I. \]

    Quindi \(\boldsymbol A^{-1} = 3\boldsymbol I - \boldsymbol A\). Per \(\boldsymbol A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\):

    \[ \boldsymbol A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol A^2 - 3\boldsymbol A + \boldsymbol I = \begin{pmatrix} 5-6+1 & 3-3\\ 3-3 & 2-3+1\end{pmatrix} = \boldsymbol 0, \]

    e \(3\boldsymbol I - \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\), che è proprio \(\boldsymbol A^{-1}\).

Esercizio 10

Calcolare l'inversa della matrice triangolare superiore

\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

con il metodo di Gauss–Jordan. Che tipo di matrice è \(\boldsymbol A^{-1}\)?

Soluzione

Il blocco sinistro è già triangolare superiore con elementi diagonali uguali a uno: è sufficiente annullare gli elementi al di sopra dei pivot, partendo dall'ultima colonna.

\[\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_2 \leftarrow R_2 - 4R_3 \text{)} \\[2ex] &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \hspace{1em} \text{(} R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 \text{)} \end{align*}\]

Quindi

\[ \boldsymbol A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\ 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

che è ancora triangolare superiore con elementi diagonali uguali a uno.