Valore assoluto

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Esercizio 1

Usando la definizione di valore assoluto, calcolare:

\[ {\rm a)}~ |-3| + |2-7| - |-4| \; \left|\frac{1}{2}\right|, \qquad {\rm b)}~ |3 - \pi|, \qquad {\rm c)}~ \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right| \]

Soluzione

• a) Poiché \(-3<0\), \(2-7=-5<0\), \(-4<0\) e \(\frac{1}{2} \ge 0\):

  \[ |-3| + |2-7| - |-4| \; \left|\frac{1}{2}\right| = 3 + 5 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 6 \]

• b) Poiché \(\pi > 3\), si ha \(3 - \pi < 0\) e quindi \(|3-\pi| = -(3-\pi) = \pi - 3\).

• c) Poiché \(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} < 0\), si ha \(\left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{6}\).

Esercizio 2

Dimostrare che per ogni numero reale \(b\) si ha:

\[ {\rm a)}~ |b| \ge 0 {\rm ~~e~~} |b| = 0 \Longleftrightarrow b = 0, \qquad {\rm b)}~ -|b| \le b \le |b|, \qquad {\rm c)}~ |b|^2 = b^2 \]

Soluzione

Distinguiamo i due casi della definizione di valore assoluto.

• Se \(b \ge 0\), allora \(|b| = b \ge 0\); inoltre \(|b|=0\) se e solo se \(b=0\); si ha \(-|b| = -b \le 0 \le b = |b|\); infine \(|b|^2 = b^2\).

• Se \(b < 0\), allora \(|b| = -b > 0\) (in particolare \(|b| \neq 0\)); si ha \(-|b| = b < 0 < -b = |b|\); infine \(|b|^2 = (-b)^2 = b^2\).

In entrambi i casi valgono a), b) e c).

Esercizio 3

Trovare tutti i numeri reali \(x\) tali che:

\[ {\rm a)}~ |x-2| < 3, \qquad {\rm b)}~ |2\:x+1| \le 5, \qquad {\rm c)}~ |x - 4| \ge 1 \]

Soluzione

• a) Da \(|a| < \varepsilon \Longleftrightarrow -\varepsilon < a < \varepsilon\) con \(a = x-2\) e \(\varepsilon = 3\):

  \[ -3 < x - 2 < 3 \Longleftrightarrow -1 < x < 5 \]

• b) Da \(|a| \le \varepsilon \Longleftrightarrow -\varepsilon \le a \le \varepsilon\) con \(a = 2\:x+1\) e \(\varepsilon = 5\):

  \[ -5 \le 2\:x + 1 \le 5 \Longleftrightarrow -6 \le 2\:x \le 4 \Longleftrightarrow -3 \le x \le 2 \]

• c) La disuguaglianza \(|x-4| \ge 1\) è falsa esattamente quando \(|x - 4| < 1\), cioè quando \(-1 < x-4 < 1\), ossia \(3 < x < 5\). Quindi le soluzioni sono:

  \[ x \le 3 {\rm ~~~oppure~~~} x \ge 5 \]

Esercizio 4

Trovare tutti i numeri reali \(x\) tali che \(|x-1| = |x+3|\).

Soluzione

Due numeri reali hanno lo stesso valore assoluto se e solo se sono uguali oppure opposti. Quindi:

• \(x - 1 = x + 3\) dà \(-1 = 3\), che è impossibile;

• \(x - 1 = -(x+3)\) dà \(2\:x = -2\), cioè \(x = -1\).

L'unica soluzione è \(x=-1\). Verifica: \(|-1-1| = 2 = |-1+3|\).

Esercizio 5

Trovare tutti i numeri reali \(x\) tali che \(|x| + |x-2| = 4\).

Soluzione

I segni di \(x\) e di \(x-2\) cambiano in \(x=0\) e in \(x=2\), quindi distinguiamo tre casi:

• \(x < 0\): \(|x| = -x\) e \(|x-2| = 2-x\), quindi \(-2\:x + 2 = 4\), cioè \(x = -1\), che soddisfa \(x<0\);

• \(0 \le x < 2\): \(|x| = x\) e \(|x-2| = 2-x\), quindi \(x + 2 - x = 2 = 4\), che è impossibile;

• \(x \ge 2\): \(|x| = x\) e \(|x-2| = x-2\), quindi \(2\:x - 2 = 4\), cioè \(x = 3\), che soddisfa \(x \ge 2\).

Le soluzioni sono \(x=-1\) e \(x=3\).

Esercizio 6

Dimostrare che per ogni coppia di numeri reali \(b\) e \(c\):

\[ |b+c| = |b| + |c| \Longleftrightarrow b\:c \ge 0 \]

Soluzione

Sia \(|b+c|\) sia \(|b|+|c|\) sono non negativi, e due numeri non negativi sono uguali se e solo se i loro quadrati sono uguali. Usando l'Esercizio Esercizio 2 c) e \(|b\:c| = |b|\:|c|\), si ha:

\[ |b+c|^2 = (b+c)^2 = b^2 + 2\:b\:c + c^2, \qquad \big(|b| + |c|\big)^2 = b^2 + 2\:|b\:c| + c^2 \]

Quindi \(|b+c| = |b| + |c|\) se e solo se \(b\:c = |b\:c|\), cioè (per la definizione di valore assoluto) se e solo se \(b\:c \ge 0\).

Esercizio 7

Verificare la disuguaglianza triangolare \(|b+c| \le |b| + |c|\) e la disuguaglianza triangolare inversa \(\big|\,|b| - |c|\,\big| \le |b - c|\) per \(b = 5\) e \(c = -3\).

Soluzione

Si ha \(|b| = 5\) e \(|c| = 3\).

• Disuguaglianza triangolare: \(|b+c| = |5-3| = 2 \le 8 = |b| + |c|\).

• Disuguaglianza triangolare inversa: \(\big|\,|b| - |c|\,\big| = |5 - 3| = 2 \le 8 = |5-(-3)| = |b-c|\).

La disuguaglianza triangolare vale con il segno di disuguaglianza stretta, in accordo con l'Esercizio Esercizio 6, poiché \(b\:c = -15 < 0\).

Esercizio 8

Sia \(x\) un numero reale tale che \(|x - 3| \le 1\). Dimostrare che:

\[ {\rm a)}~ |x| \le 4, \qquad {\rm b)}~ |x^2 - 9| \le 7 \]

e mostrare che la stima in b) non può essere migliorata.

Soluzione

• a) Dalla forma \(|g| \le |g-h| + |h|\) della disuguaglianza triangolare, con \(g = x\) e \(h = 3\):

  \[ |x| \le |x-3| + |3| \le 1 + 3 = 4 \]

• b) Si ha \(x^2 - 9 = (x-3)\:(x+3)\) e quindi \(|x^2 - 9| = |x-3| \; |x+3|\). Dalla disuguaglianza triangolare:

  \[ |x+3| = |(x-3) + 6| \le |x-3| + 6 \le 7 \]

  e pertanto \(|x^2-9| = |x-3|\; |x+3| \le 1 \cdot 7 = 7\).

La stima non può essere migliorata: per \(x=4\) (che soddisfa \(|4-3| = 1\)) si ha \(|16 - 9| = 7\).