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Produttorie

Esercizi · Somme e produttorie · con le soluzioni svolte · Dispensa (PDF) · Capitolo 2: Produttorie

Esercizio 1

Calcolare:

\[ {\rm a)}~ 5!, \qquad {\rm b)}~ \frac{7!}{5!}, \qquad {\rm c)}~ \frac{10!}{7!}, \qquad {\rm d)}~ \frac{10!}{7!\;3!} \]
Soluzione

  • a) \(5! = \prod_{j=1}^{5} j = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\).

  • b) Usando la formula \(\frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{j=1}^{k} (n-j+1)\) con \(n=7\) e \(k=2\): \(\frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42\).

  • c) Con \(n=10\) e \(k=3\): \(\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\).

  • d) Da c): \(\frac{10!}{7!\;3!} = \frac{720}{3!} = \frac{720}{6} = 120\).

Esercizio 2

Dimostrare che per ogni numero naturale \(n \ge 1\) il prodotto dei primi \(n\) numeri pari positivi è:

\[ \prod_{j=1}^{n} 2\:j = 2^n \; n! \]

e calcolarne il valore per \(n=5\).

Soluzione

Usando il prodotto per una costante (con \(c=2\) e \(a_j = j\)) si ha:

\[ \prod_{j=1}^{n} 2\:j = 2^n \; \prod_{j=1}^{n} j = 2^n \; n! \]

Per \(n=5\): \(\prod_{j=1}^{5} 2\:j = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 = 2^5 \cdot 5! = 32 \cdot 120 = 3840\).

Esercizio 3

Dimostrare che per ogni numero naturale \(n \ge 1\) il prodotto dei primi \(n\) numeri dispari è:

\[ \prod_{j=1}^{n} (2\:j-1) = \frac{(2n)!}{2^n \; n!} \]

e calcolarne il valore per \(n=4\).

Soluzione

I fattori di \((2n)! = \prod_{j=1}^{2n} j\) sono gli \(n\) numeri pari \(2, 4, \dots, 2n\) e gli \(n\) numeri dispari \(1, 3, \dots, 2n-1\). Riordinando i fattori e usando l'Esercizio Esercizio 2, si ha:

\[ (2n)! = \prod_{j=1}^{n} 2\:j \; \prod_{j=1}^{n} (2\:j-1) = 2^n \; n! \; \prod_{j=1}^{n} (2\:j-1) \]

e quindi

\[ \prod_{j=1}^{n} (2\:j-1) = \frac{(2n)!}{2^n \; n!} \]

Per \(n=4\): \(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\) e infatti \(\frac{8!}{2^4 \cdot 4!} = \frac{40320}{16 \cdot 24} = \frac{40320}{384} = 105\).

Esercizio 4

  • a) Dimostrare che per ogni successione di numeri reali non nulli \(a_1, a_2, \dots, a_{n+1}\) si ha (prodotto telescopico):

    \[ \prod_{j=1}^{n} \frac{a_{j+1}}{a_j} = \frac{a_{n+1}}{a_1} \]

  • b) Usando a), calcolare \(\displaystyle \prod_{j=1}^{n} \frac{j+1}{j}\).

Soluzione

  • a) Usando il prodotto di produttorie, la traslazione dell'indice e la scomposizione, si ha:

    \[\begin{align*} \prod_{j=1}^{n} \frac{a_{j+1}}{a_j} &= \frac{\prod_{j=1}^{n} a_{j+1}}{\prod_{j=1}^{n} a_j} = \frac{\prod_{j=2}^{n+1} a_{j}}{\prod_{j=1}^{n} a_j} = \frac{ \left(\prod_{j=2}^{n} a_{j}\right) \; a_{n+1}}{a_1 \; \prod_{j=2}^{n} a_j} = \frac{a_{n+1}}{a_1} \end{align*}\]

  • b) Applicando a) con \(a_j = j\):

    \[ \prod_{j=1}^{n} \frac{j+1}{j} = \frac{n+1}{1} = n+1 \]

Esercizio 5

Dimostrare che per ogni numero naturale \(n \ge 2\) si ha:

\[ \prod_{j=2}^{n} \left( 1 - \frac{1}{j^2} \right) = \frac{n+1}{2\:n} \]

e calcolarne il valore per \(n=10\).

Soluzione

Poiché

\[ 1 - \frac{1}{j^2} = \frac{j^2-1}{j^2} = \frac{(j-1)\:(j+1)}{j^2} = \frac{j-1}{j} \; \frac{j+1}{j} \]

per il prodotto di produttorie si ha:

\[ \prod_{j=2}^{n} \left( 1 - \frac{1}{j^2} \right) = \prod_{j=2}^{n} \frac{j-1}{j} \; \prod_{j=2}^{n} \frac{j+1}{j} \]

Entrambe le produttorie sono telescopiche (Esercizio Esercizio 4, con l'indice che parte da \(2\)): con \(a_j = \frac{1}{j}\) si ha \(\frac{a_{j}}{a_{j-1}} = \frac{j-1}{j}\), e con \(a_j = j\) si ha \(\frac{a_{j+1}}{a_j} = \frac{j+1}{j}\). Quindi:

\[ \prod_{j=2}^{n} \frac{j-1}{j} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}, \qquad \prod_{j=2}^{n} \frac{j+1}{j} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{2} \]

e pertanto

\[ \prod_{j=2}^{n} \left( 1 - \frac{1}{j^2} \right) = \frac{1}{n} \; \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2\:n} \]

Per \(n=10\) si ottiene \(\frac{11}{20}\).

Esercizio 6

Usando la traslazione e la riflessione dell'indice, dimostrare che:

\[ {\rm a)}~ \prod_{j=3}^{n} (j-2) = (n-2)! \quad (n \ge 3), \qquad {\rm b)}~ \prod_{j=0}^{n-1} (n-j) = n! \quad (n \ge 1) \]

e calcolare la produttoria in a) per \(n=8\).

Soluzione

  • a) Con la traslazione dell'indice di \(m=2\) (ponendo \(i = j-2\), quando \(j\) va da \(3\) a \(n\), \(i\) va da \(1\) a \(n-2\)):

    \[ \prod_{j=3}^{n} (j-2) = \prod_{i=1}^{n-2} i = (n-2)! \]

    Per \(n=8\): \(\prod_{j=3}^{8} (j-2) = 6! = 720\).

  • b) Con la riflessione dell'indice (con \(a_j = j\), così che \(a_{n-j} = n-j\)):

    \[ \prod_{j=0}^{n-1} (n-j) = \prod_{j=0}^{n-1} a_{n-j} = \prod_{j=1}^{n} a_j = \prod_{j=1}^{n} j = n! \]

Esercizio 7

Dimostrare che per ogni numero naturale \(n \ge 1\) si ha:

\[ \prod_{j=1}^{n} 2^j = 2^{\frac{n^2+n}{2}} \]

e calcolarne il valore per \(n=4\).

Soluzione

Poiché il prodotto di potenze con la stessa base è la potenza con esponente la somma degli esponenti (\(2^a \; 2^b = 2^{a+b}\)), si ha:

\[ \prod_{j=1}^{n} 2^j = 2^1 \; 2^2 \; {\rm \dots} \; 2^n = 2^{1+2+{\rm \dots}+n} = 2^{\sum_{j=1}^{n} j} = 2^{\frac{n^2+n}{2}} \]

Per \(n=4\): \(2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4 = 2^{10} = 1024\).

Esercizio 8

Dimostrare che per ogni numero naturale \(n \ge 1\) si ha:

\[ 2^{n-1} \le n! \le n^n \]
Soluzione

Usiamo il fatto che, se \(0 \le a_j \le b_j\) per ogni \(j \in \{1, \dots, n\}\), allora \(\prod_{j=1}^{n} a_j \le \prod_{j=1}^{n} b_j\) (le disuguaglianze tra numeri non negativi si possono moltiplicare membro a membro).

  • Maggiorazione: poiché \(j \le n\) per ogni \(j \in \{1,\dots,n\}\), usando la produttoria di un termine costante si ha:

    \[ n! = \prod_{j=1}^{n} j \le \prod_{j=1}^{n} n = n^n \]

  • Minorazione: per \(n=1\) si ha \(2^0 = 1 = 1!\). Per \(n \ge 2\), usando la scomposizione e poiché \(j \ge 2\) per ogni \(j \in \{2,\dots,n\}\), si ha:

    \[ n! = 1 \cdot \prod_{j=2}^{n} j \ge \prod_{j=2}^{n} 2 = 2^{n-1} \]

Esercizio 9

Dimostrare che \((n+1)! = (n+1)\; n!\) per ogni numero naturale \(n \ge 0\), e usarlo per semplificare, per \(n \ge 1\), l'espressione

\[ \frac{(n+1)! - n!}{(n-1)!} \]

Calcolarne poi il valore per \(n=6\).

Soluzione

Per \(n=0\) si ha \(1! = 1 = 1 \cdot 0!\). Per \(n \ge 1\), dalla scomposizione:

\[ (n+1)! = \prod_{j=1}^{n+1} j = \left(\prod_{j=1}^{n} j\right) \; (n+1) = (n+1) \; n! \]

Quindi, usandolo due volte (\(n! = n \; (n-1)!\) vale per \(n \ge 1\)):

\[ \frac{(n+1)! - n!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)\; n! - n!}{(n-1)!} = \frac{n \; n!}{(n-1)!} = \frac{n \; n \; (n-1)!}{(n-1)!} = n^2 \]

Per \(n=6\): \(\frac{7! - 6!}{5!} = \frac{5040 - 720}{120} = \frac{4320}{120} = 36 = 6^2\).