Sistemi di equazioni lineari¶
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1. Esistenza e unicità delle soluzioni¶
Consideriamo un sistema di \(m\) equazioni lineari in \(n\) variabili:
dove:
-
\({\boldsymbol A} \in \R^{m \times n}\) è la matrice dei coefficienti (\(m\) equazioni, \(n\) variabili)
-
\({\boldsymbol x} \in \R^{n \times 1}\) è il vettore delle variabili
-
\({\boldsymbol b} \in \R^{m \times 1}\) è il vettore dei termini noti
-
\(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b}) \in \R^{m \times (n+1)}\) è la matrice completa
Teorema di Rouché–Capelli. L'esistenza e l'unicità delle soluzioni del sistema \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b}\) dipendono dal rango della matrice dei coefficienti \({\boldsymbol A}\) e dal rango della matrice completa \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\).
Caso 1 - Nessuna soluzione (sistema incompatibile):
Il sistema è incompatibile e non ha soluzioni.
Caso 2 - Soluzione unica:
Il sistema ha un'unica soluzione.
Caso 3 - Infinite soluzioni:
Il sistema ha infinite soluzioni con \(n - \text{rank}({\boldsymbol A})\) gradi di libertà (variabili libere). Se \(r=\text{rank}({\boldsymbol A})\), le soluzioni si possono descrivere mediante \(n-r\) parametri liberi.
-
Poiché \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\) si ottiene da \({\boldsymbol A}\) aggiungendo una colonna, si ha sempre
\[ \text{rank}({\boldsymbol A}) \le \text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b}) \le \text{rank}({\boldsymbol A}) + 1, \]quindi i tre casi precedenti coprono tutte le possibilità. In particolare, il sistema ha almeno una soluzione (è compatibile) se e solo se \(\text{rank}({\boldsymbol A}) = \text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\).
-
Poiché \(\text{rank}({\boldsymbol A}) \le \min\{m,n\}\), una soluzione unica è possibile solo se \(m \ge n\).
-
Se \({\boldsymbol A} \in \R^{n \times n}\) è quadrata, ricordiamo che \(\text{rank}({\boldsymbol A})=n\) se e solo se \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\). Quindi, se \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), allora anche \(\text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})=n\) e il sistema ha un'unica soluzione, per ogni vettore dei termini noti \({\boldsymbol b}\).
2. Metodo di eliminazione di Gauss¶
Il metodo di eliminazione di Gauss è un algoritmo per risolvere sistemi di equazioni lineari che trasforma la matrice completa \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\) in forma a scala (forma triangolare superiore) mediante operazioni elementari sulle righe.
-
Dato il sistema di equazioni lineari:
\[ {\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b} \]costruiamo la matrice completa:
\[ ({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b}) \] -
Il metodo si compone di due fasi:
Fase 1 - Eliminazione in avanti: si trasforma la matrice completa in forma triangolare superiore mediante operazioni elementari sulle righe:
-
Scambiare due righe
-
Moltiplicare una riga per uno scalare non nullo
-
Sommare a una riga un multiplo di un'altra riga
L'obiettivo è creare zeri sotto la diagonale, ottenendo:
\[ \left(\begin{array}{cccc|c} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{12} & \cdots & \tilde{a}_{1n} & \tilde{b}_1 \\ 0 & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{2n} & \tilde{b}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \tilde{a}_{nn} & \tilde{b}_n \end{array}\right) \]Fase 2 - Sostituzione all'indietro: si risolve il sistema triangolare superiore dal basso verso l'alto (supponendo \(\tilde{a}_{ii} \neq 0\) per ogni \(i\)):
\[\begin{align*} x_n &= \frac{\tilde{b}_n}{\tilde{a}_{nn}}\\ x_{n-1} &= \frac{\tilde{b}_{n-1} - \tilde{a}_{n-1,n} \; x_n}{\tilde{a}_{n-1,n-1}}\\ &\vdots\\ x_i &= \frac{\tilde{b}_i - \sum_{j=i+1}^{n} \tilde{a}_{ij} \; x_j}{\tilde{a}_{ii}} \end{align*}\] -
Operazioni elementari sulle righe:
-
\(R_i \leftrightarrow R_j\) : scambia la riga \(i\) con la riga \(j\)
-
\(R_i \leftarrow k \; R_i\) : moltiplica la riga \(i\) per lo scalare \(k \neq 0\)
-
\(R_i \leftarrow R_i + k \; R_j\) : somma alla riga \(i\) la riga \(j\) moltiplicata per \(k\)
Queste operazioni non cambiano l'insieme delle soluzioni del sistema.
Esempio 1: Risoluzione di un sistema con l'eliminazione di Gauss - Parte 1
Consideriamo il sistema di equazioni lineari:
Matrice completa:
Passo 1: eliminiamo \(x_1\) dalle righe 2 e 3
\(R_2 \leftarrow R_2 - 2 \; R_1\) (sottraiamo alla riga 2 la riga 1 moltiplicata per \(2\)):
\(R_3 \leftarrow R_3 - 4 \; R_1\) (sottraiamo alla riga 3 la riga 1 moltiplicata per \(4\)):
Passo 2: eliminiamo \(x_2\) dalla riga 3
\(R_3 \leftarrow R_3 - 3 \; R_2\) (sottraiamo alla riga 3 la riga 2 moltiplicata per \(3\)):
Forma triangolare superiore ottenuta! Il sistema corrispondente è:
Esempio 2: Risoluzione di un sistema con l'eliminazione di Gauss - Parte 2
Sostituzione all'indietro:
Dalla terza equazione:
Dalla seconda equazione:
Dalla prima equazione:
Soluzione:
Verifica:
3. Eliminazione di Gauss e teorema di Rouché–Capelli¶
-
L'eliminazione di Gauss si può applicare a qualunque sistema \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b}\), con \({\boldsymbol A} \in \R^{m \times n}\). In generale, l'eliminazione in avanti trasforma \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\) in forma a scala: in ogni riga non nulla, il primo elemento non nullo (detto pivot) si trova strettamente a destra del pivot della riga precedente, e le righe nulle (se ci sono) si trovano in fondo.
-
Le operazioni elementari sulle righe non cambiano l'insieme delle soluzioni del sistema, e non cambiano né il rango di \({\boldsymbol A}\) né il rango di \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\).
-
Il rango di una matrice in forma a scala è uguale al numero delle sue righe non nulle. Pertanto, al termine dell'eliminazione in avanti possiamo leggere \(\text{rank}({\boldsymbol A})\) e \(\text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\) e applicare il teorema di Rouché–Capelli:
-
una riga della forma \(\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & \cdots & 0 & c \end{array}\right)\) con \(c \neq 0\) corrisponde all'equazione impossibile \(0=c\): allora \(\text{rank}({\boldsymbol A}) < \text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\) e il sistema non ha soluzioni;
-
altrimenti, le variabili le cui colonne contengono un pivot si calcolano con la sostituzione all'indietro, e le restanti \(n-r\) variabili sono i parametri liberi.
-
Quando il sistema ha infinite soluzioni con un parametro libero \(t \in \R\), le soluzioni si possono scrivere in forma parametrica
dove \({\boldsymbol x}_0\) è una soluzione particolare (ottenuta per \(t=0\)) e \({\boldsymbol v}\) è un vettore non nullo tale che \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol v} = {\boldsymbol 0}\).
Esempio 3: Rouché–Capelli: soluzione unica
Consideriamo il sistema di equazioni lineari:
L'elemento in posizione \((1,1)\) è nullo, quindi per prima cosa scambiamo le righe 1 e 2.
\(R_1 \leftrightarrow R_2\):
\(R_3 \leftarrow R_3 - 2 \; R_1\):
\(R_3 \leftarrow R_3 + R_2\):
Ci sono \(3\) righe non nulle sia in \({\boldsymbol A}\) sia in \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\): \(\text{rank}({\boldsymbol A}) = \text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b}) = 3 = n\), quindi la soluzione è unica. Con la sostituzione all'indietro:
cioè
Esempio 4: Rouché–Capelli: infinite soluzioni
Consideriamo il sistema di equazioni lineari:
\(R_2 \leftarrow R_2 - 2 \; R_1\):
\(R_3 \leftarrow R_3 - 3 \; R_1\):
\(R_3 \leftarrow R_3 - R_2\):
Ci sono \(2\) righe non nulle sia in \({\boldsymbol A}\) sia in \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\): \(\text{rank}({\boldsymbol A}) = \text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b}) = 2 < 3 = n\), quindi ci sono infinite soluzioni con \(n - r = 3 - 2 = 1\) parametro libero. I pivot sono nelle colonne di \(x_1\) e \(x_2\), quindi \(x_3\) è libera: poniamo \(x_3 = t\), \(t \in \R\). Con la sostituzione all'indietro:
In forma parametrica:
Verifica: \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x}_0 = (-3+4, \; -6+10, \; -9+14)' = (1, 4, 5)' = {\boldsymbol b}\) e \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol v} = (7-6-1, \; 14-15+1, \; 21-21)' = {\boldsymbol 0}\), quindi \({\boldsymbol A}({\boldsymbol x}_0 + t \; {\boldsymbol v}) = {\boldsymbol b}\) per ogni \(t \in \R\) \(\checkmark\)
Esempio 5: Rouché–Capelli: nessuna soluzione
Cambiamo solo l'ultimo termine noto del sistema precedente:
Con le stesse operazioni sulle righe \(R_2 \leftarrow R_2 - 2 \; R_1\), \(R_3 \leftarrow R_3 - 3 \; R_1\):
\(R_3 \leftarrow R_3 - R_2\):
L'ultima riga corrisponde all'equazione \(0 \; x_1 + 0 \; x_2 + 0 \; x_3 = 1\), che è impossibile. Infatti \({\boldsymbol A}\) ha \(2\) righe non nulle mentre \(({\boldsymbol A} | {\boldsymbol b})\) ne ha \(3\):
quindi il sistema è incompatibile e non ha soluzioni.
Provalo nel laboratorio
lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.
4. Sistemi omogenei¶
Definizione 1: sistema omogeneo
Un sistema di equazioni lineari \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b}\) con \({\boldsymbol A} \in \R^{m \times n}\) si dice omogeneo se \({\boldsymbol b} = {\boldsymbol 0}\), cioè se ha la forma
Osservazione 1: soluzioni di un sistema omogeneo
Sia \({\boldsymbol A} \in \R^{m \times n}\). Allora:
-
il sistema omogeneo \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol 0}\) ha sempre la soluzione \({\boldsymbol x} = {\boldsymbol 0}\), detta soluzione banale;
-
ha soluzioni non banali (\({\boldsymbol x} \neq {\boldsymbol 0}\)) se e solo se \(\text{rank}({\boldsymbol A}) < n\); in tal caso ha infinite soluzioni, con \(n - \text{rank}({\boldsymbol A})\) parametri liberi;
-
se \({\boldsymbol A} \in \R^{n \times n}\) è quadrata, ha soluzioni non banali se e solo se \(\det({\boldsymbol A}) = 0\).
Dimostrazione (Dimostrazione)
Aggiungere una colonna di zeri non cambia il rango, quindi \(\text{rank}({\boldsymbol A} | {\boldsymbol 0}) = \text{rank}({\boldsymbol A})\) e il sistema è sempre compatibile (come mostra \({\boldsymbol x} = {\boldsymbol 0}\)). Per il teorema di Rouché–Capelli, la soluzione \({\boldsymbol x} = {\boldsymbol 0}\) è l'unica se e solo se \(\text{rank}({\boldsymbol A}) = n\); altrimenti ci sono infinite soluzioni con \(n - \text{rank}({\boldsymbol A})\) parametri liberi. Per una matrice quadrata, \(\text{rank}({\boldsymbol A}) < n\) se e solo se \(\det({\boldsymbol A}) = 0\). □
-
In particolare, se \(m < n\) (meno equazioni che variabili), allora \(\text{rank}({\boldsymbol A}) \le m < n\) e il sistema omogeneo ha sempre soluzioni non banali.
-
Se \({\boldsymbol x}_0\) è una soluzione di \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b}\) e \({\boldsymbol v}\) è una soluzione di \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol 0}\), allora \({\boldsymbol A}({\boldsymbol x}_0 + {\boldsymbol v}) = {\boldsymbol b} + {\boldsymbol 0} = {\boldsymbol b}\). Questo spiega la forma parametrica \({\boldsymbol x} = {\boldsymbol x}_0 + t \; {\boldsymbol v}\) dell'Esempio Esempio 4.
Esempio 6: un sistema omogeneo
Consideriamo il sistema omogeneo con la matrice dei coefficienti dell'Esempio Esempio 4:
Con la regola di Sarrus,
quindi ci sono soluzioni non banali. Con le stesse operazioni sulle righe dell'Esempio Esempio 4 (l'ultima colonna resta nulla):
Ponendo \(x_3 = t\): \(x_2 = -3t\) e \(x_1 = -2 \; x_2 + x_3 = 6t + t = 7t\). Quindi le soluzioni sono
e la soluzione banale si ottiene per \(t = 0\).
5. Metodo della fattorizzazione LU¶
La fattorizzazione LU (o decomposizione LU) è un metodo per risolvere sistemi di equazioni lineari che scompone la matrice dei coefficienti \({\boldsymbol A}\) nel prodotto di due matrici triangolari:
dove \({\boldsymbol L}\) è una matrice triangolare inferiore (con elementi diagonali uguali a 1) e \({\boldsymbol U}\) è una matrice triangolare superiore.
-
Dato il sistema di equazioni lineari:
\[ {\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b} \]se disponiamo della fattorizzazione LU \({\boldsymbol A} = {\boldsymbol L} \; {\boldsymbol U}\), possiamo sostituire:
\[ {\boldsymbol L} \; {\boldsymbol U} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b} \] -
Introduciamo la variabile ausiliaria \({\boldsymbol y}\) definita come:
\[ {\boldsymbol y} \;:=\; {\boldsymbol U} \; {\boldsymbol x} \]così che \({\boldsymbol L} \; {\boldsymbol U} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b}\) diventa \({\boldsymbol L} \; {\boldsymbol y} = {\boldsymbol b}\).
Perché funziona? Stiamo spezzando il sistema originale \({\boldsymbol A}\,{\boldsymbol x}={\boldsymbol b}\) in due sistemi triangolari più semplici:
-
Trovare \({\boldsymbol y}\) tale che \({\boldsymbol L}\,{\boldsymbol y} = {\boldsymbol b}\).
-
Trovare \({\boldsymbol x}\) tale che \({\boldsymbol U}\,{\boldsymbol x} = {\boldsymbol y}\).
Se entrambi i passi riescono, allora \({\boldsymbol A}\,{\boldsymbol x} = {\boldsymbol L}\,{\boldsymbol U}\,{\boldsymbol x} = {\boldsymbol L}\,{\boldsymbol y} = {\boldsymbol b}\), quindi \({\boldsymbol x}\) è effettivamente una soluzione del sistema originale. Poiché sia \({\boldsymbol L}\) sia \({\boldsymbol U}\) sono triangolari, ciascuno dei due sistemi si risolve in \(O(n^2)\) operazioni per semplice sostituzione.
-
-
Risolviamo quindi il sistema in due passi:
Passo 1 - Sostituzione in avanti: risolvere \({\boldsymbol L} \; {\boldsymbol y} = {\boldsymbol b}\) rispetto a \({\boldsymbol y}\)
Poiché \({\boldsymbol L}\) è triangolare inferiore, possiamo risolvere facilmente questo sistema dall'alto verso il basso:
\[\begin{align*} y_1 &= b_1\\ y_2 &= b_2 - \ell_{21} \; y_1\\ y_3 &= b_3 - \ell_{31} \; y_1 - \ell_{32} \; y_2\\ &\vdots\\ y_i &= b_i - \sum_{j=1}^{i-1} \ell_{ij} \; y_j \end{align*}\]Passo 2 - Sostituzione all'indietro: risolvere \({\boldsymbol U} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol y}\) rispetto a \({\boldsymbol x}\)
Poiché \({\boldsymbol U}\) è triangolare superiore, possiamo risolvere facilmente questo sistema dal basso verso l'alto:
\[\begin{align*} x_n &= \frac{y_n}{u_{nn}}\\ x_{n-1} &= \frac{y_{n-1} - u_{n-1,n} \; x_n}{u_{n-1,n-1}}\\ &\vdots\\ x_i &= \frac{y_i - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij} \; x_j}{u_{ii}} \end{align*}\]
Vantaggi della fattorizzazione LU:
-
Una volta calcolata la fattorizzazione \({\boldsymbol A} = {\boldsymbol L} \; {\boldsymbol U}\), possiamo risolvere in modo efficiente il sistema per diversi vettori dei termini noti \({\boldsymbol b}\)
-
Sia la sostituzione in avanti sia quella all'indietro richiedono solo \(O(n^2)\) operazioni
-
La fattorizzazione richiede \(O(n^3)\) operazioni, ma va calcolata una sola volta
Esempio 7: Risoluzione di un sistema con la fattorizzazione LU - Parte 1
Consideriamo il sistema di equazioni lineari:
In forma matriciale: \({\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol b}\) dove
Data la fattorizzazione LU di \({\boldsymbol A}\):
Verifica:
Esempio 8: Risoluzione di un sistema con la fattorizzazione LU - Parte 2
Passo 1 - Sostituzione in avanti: risolvere \({\boldsymbol L} \; {\boldsymbol y} = {\boldsymbol b}\)
Dalla prima equazione:
Dalla seconda equazione:
Dalla terza equazione:
Quindi:
Passo 2 - Sostituzione all'indietro: risolvere \({\boldsymbol U} \; {\boldsymbol x} = {\boldsymbol y}\)
Dalla terza equazione:
Dalla seconda equazione:
Dalla prima equazione:
Soluzione:
Verifica:
6. Regola di Cramer¶
La regola di Cramer è una formula esplicita per la soluzione di un sistema di \(m\) equazioni lineari in \(m\) variabili (valida quando il sistema ha un'unica soluzione).
-
Dati un vettore colonna \({\boldsymbol b} \in \R^{m \times 1}\) di \(m\) righe, una matrice \({\boldsymbol A } \in \R^{m \times m}\) di \(m\) righe e \(m\) colonne e un vettore colonna \({\boldsymbol x} \in \R^{m \times 1}\) di \(m\) righe contenente le \(m\) variabili:
\[ {\boldsymbol A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mm}\\ \end{pmatrix} \qquad {\boldsymbol b}= \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix} \qquad {\boldsymbol x}= \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \\ \end{pmatrix} \]se \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), la soluzione \({\tilde{\boldsymbol x}}\) del sistema di \(m\) equazioni lineari:
\[ {\boldsymbol A} \; {\boldsymbol x}= {\boldsymbol b} \]è data dalla formula:
\[\begin{equation} \label{CCCC} \tilde{x}_j = \frac{\det({\boldsymbol A}_j) }{\det({\boldsymbol A})},~~~~~ \forall j \in \{1,2,\dots,m\} \end{equation}\]dove \({\boldsymbol A}_j\) è la matrice ottenuta sostituendo la \(j\)-esima colonna di \({\boldsymbol A}\) con il vettore colonna \({\boldsymbol b}\).
6.1 Sistemi di due equazioni in due variabili¶
Con \(m=2\), si ha:
e
Se \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), si ha allora:
Esempio 9: soluzione di un sistema di due equazioni in due variabili
-
Dati
\[ {\boldsymbol A}= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1ex] 8 & 2 \end{pmatrix} \qquad {\boldsymbol b}= \begin{pmatrix} 2 \\[1ex] 19 \end{pmatrix} \]si ha
\[ {\boldsymbol A_1}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1ex] 19 & 2 \end{pmatrix} ~~~ {\boldsymbol A_2}= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1ex] 8 & 19 \end{pmatrix} \]e
\[\begin{align*} \det({\boldsymbol A}) &= (-1) \cdot 2 - 1 \cdot 8 =-10\\[1ex] \det({\boldsymbol A}_1) &= 2 \cdot 2 - 1 \cdot 19 = -15\\[1ex] \det({\boldsymbol A}_2) &= (-1) \cdot 19 - 2 \cdot 8 = -35 \end{align*}\]Poiché \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), si ha allora:
\[\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} -x_1 & + & x_2 & = &2\\[2ex] 8\;x_1 & + & 2\;x_2 & = &19 \end{array} \end{cases} ~~\Longrightarrow~~ (\tilde{x}_1, \tilde{x}_2) = \left(\frac{-15}{-10}, \frac{-35}{-10}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right) \end{equation*}\] -
Dati
\[ {\boldsymbol A}= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\[1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad {\boldsymbol b}= \begin{pmatrix} -2 \\[1ex] 0 \end{pmatrix} \]si ha
\[ {\boldsymbol A_1}= \begin{pmatrix} -2 & -1 \\[1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} ~~~ {\boldsymbol A_2}= \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \]e
\[\begin{align*} \det({\boldsymbol A}) &= (-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 =2\\[1ex] \det({\boldsymbol A}_1) &= (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0 = 2\\[1ex] \det({\boldsymbol A}_2) &= (-1) \cdot 0 - (-2) \cdot 1 = 2 \end{align*}\]Poiché \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), si ha allora:
\[\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} -x_1 & - & x_2 & = &-2\\[2ex] x_1 & - & x_2 & = &0 \end{array} \end{cases} ~~\Longrightarrow~~ (\tilde{x}_1, \tilde{x}_2) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = \left(1, 1\right) \end{equation*}\]
6.2 Sistemi di tre equazioni in tre variabili¶
Con \(m=3\), si ha:
e (regola di Sarrus)
Se \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), si ha allora:
Esempio 10: soluzione di un sistema di tre equazioni in tre variabili
Risolviamo con la regola di Cramer il sistema dell'Esempio Esempio 1:
Si ha
e
Poiché \(\det({\boldsymbol A}) \neq 0\), si ha allora:
che è la soluzione trovata con l'eliminazione di Gauss.
6.3 Costo computazionale¶
-
La regola di Cramer fornisce una formula esplicita, molto utile per sistemi piccoli (\(m=2\) o \(m=3\)) e per scopi teorici. Tuttavia, non è un metodo pratico per sistemi grandi.
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Per applicare la regola di Cramer servono \(m+1\) determinanti di ordine \(m\): \(\det({\boldsymbol A})\), \(\det({\boldsymbol A}_1)\), \(\dots\), \(\det({\boldsymbol A}_m)\). Se ogni determinante è calcolato con lo sviluppo di Laplace, il numero di operazioni aritmetiche cresce all'incirca come \(m!\) per ciascun determinante.
-
L'eliminazione di Gauss, invece, risolve il sistema con un numero di operazioni che cresce all'incirca come \(m^3\) (circa \(\frac{2}{3} m^3\) operazioni).
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Ad esempio, con \(m=10\) si ha \(10! = 3\,628\,800\), mentre \(\frac{2}{3} \cdot 10^3 \approx 667\); con \(m=20\), \(20!\) è maggiore di \(2 \cdot 10^{18}\), mentre \(\frac{2}{3}\cdot 20^3 \approx 5\,333\).
-
Anche se i determinanti vengono calcolati in modo più efficiente (ad esempio con la stessa eliminazione di Gauss), la regola di Cramer ne richiede comunque \(m+1\), e resta più costosa che risolvere direttamente il sistema con l'eliminazione di Gauss.
Provalo nel laboratorio
lo stesso calcolo passo per passo: cambia la matrice e guarda come cambiano i passaggi.
Esercizi e laboratorio¶
- Esercizi · il foglio di esercizi di questo capitolo: 11 esercizi con le soluzioni svolte
- Laboratorio · Sistemi lineari — Gauss e sostituzione all'indietro, Rouché–Capelli, Cramer, oppure la fattorizzazione LU.
- Laboratorio · Rango — il rango di \(\boldsymbol A\) e della matrice completa \((\boldsymbol A\mid\boldsymbol b)\) per Rouché–Capelli