Funzioni di più variabili

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2.1 Funzioni di più variabili

Definizione 2.1: funzione di più variabili reali

La funzione:

\[\begin{equation*} f: D \subseteq \R^n \rightarrow \mathbb{R},~~~ f: \underbrace{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} }_{{\boldsymbol x}} \mapsto f({\boldsymbol x}) \end{equation*}\]

si chiama funzione (scalare) di \(n\) variabili reali e \(D \subseteq \R^n\) è il suo dominio.

• Una funzione, indicata di solito con \(f\), di \(n\) variabili reali prende in ingresso un vettore di \(n\) numeri reali, rappresentato di solito dal vettore (colonna) delle variabili \({\boldsymbol x}\), e restituisce un numero reale, il valore della funzione, indicato di solito con \(f({\boldsymbol x})\).

• I vettori si scrivono in grassetto e sono vettori colonna; il trasposto di un vettore \({\boldsymbol x}\) è il vettore riga \({\boldsymbol x}' = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{pmatrix}\).

Esempio 2.1: una funzione di tre variabili

Consideriamo la funzione:

\[ f: \R^3 \rightarrow \R,~~ f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto x_1\,x_2 + x_3^2 \]

Nel punto \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) il valore della funzione è:

\[ f\left(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\right) = 2 \cdot (-1) + 3^2 = -2 + 9 = 7 \]

2.2 Gradiente, matrice Hessiana e insiemi di livello

Definizione 2.2: gradiente

Data \(f:D\subseteq \R^n \to \R\), il gradiente \(\nabla f(\boldsymbol x)\) di \(f\) in \(\boldsymbol x\) è il vettore (colonna) delle derivate parziali prime:

\[ \nabla f(\boldsymbol x) := \begin{pmatrix} \frac{\partial f(\boldsymbol x)}{\partial x_1}\\[1ex] \frac{\partial f(\boldsymbol x)}{\partial x_2}\\[1ex] \vdots\\[1ex] \frac{\partial f(\boldsymbol x)}{\partial x_n} \end{pmatrix} \]

Il gradiente \(\nabla f(\boldsymbol x)\) (se non è nullo) fornisce la direzione di massima crescita (massima derivata direzionale fra le direzioni unitarie), mentre \(-\nabla f(\boldsymbol x)\) fornisce la direzione di massima decrescita.

Definizione 2.3: matrice Hessiana

Data una funzione \(f:D\subseteq \R^n \to \R\), la matrice Hessiana \(\nabla^2 f(\boldsymbol x)\) di \(f\) in \(\boldsymbol x\) è la matrice delle derivate parziali seconde:

\[ \nabla^2 f(\boldsymbol x) := \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_1\partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_1\partial x_n}\\[2ex] \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_2\partial x_n}\\[2ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[2ex] \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_n\partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} \]

• L'elemento di riga \(i\) e colonna \(j\) della matrice Hessiana si ottiene derivando \(\frac{\partial f(\boldsymbol x)}{\partial x_j}\) rispetto a \(x_i\).

• Se le derivate parziali seconde di \(f\) sono continue (come per tutte le funzioni di queste dispense), l'ordine di derivazione non conta, \(\frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial^2 f(\boldsymbol x)}{\partial x_j\partial x_i}\), e la matrice Hessiana è una matrice simmetrica.

La matrice Hessiana \(\nabla^2 f(\boldsymbol x)\) descrive la curvatura locale di \(f\) attorno a \(\boldsymbol x\), cioè come varia il gradiente allontanandosi da \(\boldsymbol x\).

Definizione 2.4: insieme di livello

Data una funzione \(f:D\subseteq \R^n \to \R\) e una costante \(k\in\R\), l'insieme di livello \(L(k)\) di \(f\) al livello \(k\) è:

\[ L(k) := \{\, \boldsymbol x \in D : f(\boldsymbol x)=k \,\} \]

Un insieme di livello \(L(k)\) è l'insieme dei punti in cui la funzione assume il valore costante \(k\). Il gradiente \(\nabla f(\boldsymbol x)\) (se non è nullo) è perpendicolare all'insieme di livello passante per \(\boldsymbol x\) e punta verso i valori crescenti di \(f\).

Esempio 2.2: gradiente, matrice Hessiana e insiemi di livello di una funzione quadratica

Consideriamo la funzione quadratica:

\[ f: \R^2 \rightarrow \R,~~f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto (x_1-2)^2 + (x_2-2)^2 +1 \]

• Il gradiente della funzione è:

  \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} \frac{ \partial f}{ \partial x_1} \\[2ex] \frac{ \partial f}{ \partial x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(x_1-2) \\[1ex] 2(x_2-2) \end{pmatrix} \]

  Per esempio:

  • nel punto \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) abbiamo

    \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2(3-2) \\ 2(2-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \]

  • nel punto \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) abbiamo

    \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2(2-2) \\ 2(3-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]

• La matrice Hessiana della funzione è:

  \[ \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} \frac{ \partial^2 f}{ \partial x_1^2} & \frac{ \partial^2 f}{ \partial x_1 \partial x_2} \\[2ex] \frac{ \partial^2 f}{ \partial x_2 \partial x_1} & \frac{ \partial^2 f}{ \partial x_2^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[1ex] 0 & 2 \end{pmatrix} \]

  Si noti che la matrice Hessiana è costante (non dipende dal punto).

• Gli insiemi di livello della funzione sono:

  \[ L(k) = \left\{~\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \R^2:~ (x_1-2)^2 + (x_2-2)^2 +1= k ~\right\} , \qquad \forall k \in \mathbb{R} \]

  che sono circonferenze di centro \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) e raggio \(\sqrt{k-1}\) per \(k > 1\); l'insieme di livello \(L(1)\) è il solo punto \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) e gli insiemi di livello con \(k<1\) sono vuoti.

Esempio 2.3: grafico, insiemi di livello e gradienti di una funzione quadratica

Per la funzione dell'esempio precedente, questo è il grafico nel dominio \([-4,4]\times[-4,4]\); il suo punto più basso è in \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), dove \(f = 1\), e il suo punto più alto è in \(\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix}\), dove \(f = 73\):

La figura seguente mostra gli insiemi di livello \(L(2)\) (circonferenza di raggio \(1\), in blu) e \(L(17)\) (circonferenza di raggio \(4\), in arancione), e i due gradienti dell'esempio precedente (in rosso), tracciati a partire dai punti \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) dell'insieme di livello \(L(2)\):

I vettori gradiente sono perpendicolari agli insiemi di livello e puntano nella direzione di massima crescita della funzione (allontanandosi dal centro).

2.3 Esempi di funzioni non quadratiche

• Per una funzione quadratica la matrice Hessiana è costante (capitolo «Funzioni quadratiche»). In generale, la matrice Hessiana dipende dal punto, come nei due esempi seguenti.

Esempio 2.4: gradiente e matrice Hessiana di una funzione cubica

Consideriamo la funzione:

\[ f: \R^2 \rightarrow \R,~~f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto x_1^2\,x_2 \]

• Il gradiente e la matrice Hessiana della funzione sono:

  \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2\,x_1 x_2 \\[1ex] x_1^2 \end{pmatrix}, \qquad \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2\,x_2 & 2\,x_1 \\[1ex] 2\,x_1 & 0 \end{pmatrix} \]

• Nel punto \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) abbiamo:

  \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \cdot 2 \\[0.5ex] 1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \]

• Nel punto \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) abbiamo:

  \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) \cdot 3 \\[0.5ex] (-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \]

La matrice Hessiana cambia da punto a punto e, come previsto, è simmetrica in ogni punto.

Esempio 2.5: gradiente, matrice Hessiana e un insieme di livello di una funzione esponenziale

Consideriamo la funzione:

\[ f: \R^2 \rightarrow \R,~~f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto e^{x_1} + x_2^2 \]

• Il gradiente e la matrice Hessiana della funzione sono:

  \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} e^{x_1} \\[1ex] 2\,x_2 \end{pmatrix}, \qquad \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} e^{x_1} & 0 \\[1ex] 0 & 2 \end{pmatrix} \]

• L'insieme di livello \(L(2)\) è la curva \(e^{x_1} + x_2^2 = 2\), cioè \(x_1 = \ln(2 - x_2^2)\) per \(|x_2| < \sqrt{2}\). Contiene i punti \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix} \ln 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), poiché \(e^0 + 1^2 = 2\) e \(e^{\ln 2} + 0^2 = 2\). In questi punti:

  \[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \nabla f\left(\begin{pmatrix} \ln 2 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \]

  e

  \[ \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \nabla^2 f\left(\begin{pmatrix} \ln 2 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]

La figura seguente mostra l'insieme di livello \(L(2)\) (in blu) e i due vettori gradiente (in rosso):

La direzione tangente all'insieme di livello in \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) è \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) (la derivata di \(x_1 = \ln(2-x_2^2)\) rispetto a \(x_2\) è \(\frac{-2\,x_2}{2-x_2^2}\), uguale a \(-2\) per \(x_2=1\)), e infatti:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 + 2 = 0 \]

quindi il gradiente è perpendicolare all'insieme di livello anche quando l'insieme di livello non è una circonferenza.

Il gradiente \(\nabla f(\boldsymbol x)\) è il vettore colonna delle derivate parziali prime: punta nella direzione di massima crescita ed è perpendicolare all'insieme di livello passante per \(\boldsymbol x\). La matrice Hessiana \(\nabla^2 f(\boldsymbol x)\) è la matrice (simmetrica) delle derivate parziali seconde e descrive la curvatura locale di \(f\).

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Esercizi su questo capitolo: Funzioni di più variabili

Laboratorio interattivo

Le idee del capitolo, da toccare con mano: muovi i cursori e trascina i punti. Tutti i grafici del corso sono nel laboratorio interattivo.