Funzioni lineari

Parte 1 · Funzioni lineari, poliedri e problemi di programmazione lineare · Capitolo 1 · Dispensa, volume 1 (PDF) · App: Rette di livello

1.1 Funzioni lineari

Definizione 1.1: funzione lineare

Dato un vettore (colonna)

\[ \underbrace{ \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}}_{ {\boldsymbol c}} \in \mathbb{R}^{n} \]

la funzione (scalare) associata

\[\begin{align*} f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, ~~~ f:\underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}}_{{\boldsymbol x}} \mapsto \underbrace{\sum_{j=1}^n c_j x_j}_{{\boldsymbol c}' {\boldsymbol x}} \tag{1.1} \end{align*}\]

si dice funzione lineare.

Definizione 1.2: gradiente di una funzione lineare

Il gradiente (vettore delle derivate parziali) della funzione lineare \(f({\boldsymbol x}) = {\boldsymbol c}'{\boldsymbol x}\) è:

\[\begin{align*} \nabla f({\boldsymbol x}) &= \begin{pmatrix} \frac{ \partial f({\boldsymbol x})}{ \partial x_1} \\[1ex] \frac{ \partial f({\boldsymbol x})}{ \partial x_2} \\[1ex] \vdots \\[1ex] \frac{ \partial f({\boldsymbol x})}{ \partial x_n} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} c_1 \\[1ex] c_2 \\[1ex] \vdots \\[1ex] c_n \end{pmatrix}}_{ {\boldsymbol c}} \end{align*}\]

Definizione 1.3: matrice Hessiana di una funzione lineare

La matrice Hessiana (matrice delle derivate parziali seconde) della funzione lineare \(f({\boldsymbol x}) = {\boldsymbol c}'{\boldsymbol x}\) è la matrice \(n \times n\):

\[\begin{align*} \nabla^2 f({\boldsymbol x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_1 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_1 \partial x_n} \\[1.5ex] \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_2 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_2 \partial x_n} \\[1.5ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.5ex] \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f({\boldsymbol x})}{\partial x_n \partial x_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1ex] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1ex] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

poiché ogni derivata parziale prima \(\frac{\partial f({\boldsymbol x})}{\partial x_j} = c_j\) è una costante.

Definizione 1.4: insiemi di livello di una funzione lineare

Gli insiemi di livello della funzione lineare \(f({\boldsymbol x}) = {\boldsymbol c}'{\boldsymbol x}\) (gli insiemi di punti in cui la funzione è costante) sono:

\[\begin{align*} \left\{~~{\boldsymbol x} \in \R^{n}:~~ {\boldsymbol c}' \; {\boldsymbol x}= k ~~\right\} , \qquad \forall k \in \mathbb{R} \end{align*}\]

• Il gradiente di una funzione lineare è lo stesso vettore \({\boldsymbol c}\) in ogni punto e, di conseguenza, la sua matrice Hessiana (matrice delle derivate parziali seconde) è ovunque la matrice nulla.

• Gli insiemi di livello di una funzione lineare sono gli iperpiani perpendicolari al gradiente.

Esempio 1.1: gradiente e insiemi di livello di funzioni lineari

Con \({\boldsymbol c}=\begin{pmatrix} 8\\ 4 \end{pmatrix}\), la funzione lineare associata è:

\[ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},~~ f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ \end{pmatrix} \; \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{pmatrix}= 8\:x_1 + 4\: \, x_2 \]

Gradiente:

\[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 8 \\[0.5ex] 4 \end{pmatrix} \]

La figura mostra:

• Il gradiente calcolato in \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\): \(\nabla f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix} 8 \\[0.5ex] 4 \end{pmatrix}\) (freccia blu)

• Due insiemi di livello (linee blu tratteggiate): \(8 x_1 +4 x_2 = 16\) e \(8 x_1 +4 x_2 = 40\)

Esempio 1.2: gradiente e insiemi di livello di funzioni lineari

Con \({\boldsymbol c}=\begin{pmatrix} -8\\ -4 \end{pmatrix}\), la funzione lineare associata è:

\[ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},~~ f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -8 & -4 \\ \end{pmatrix} \; \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{pmatrix}= -8\:x_1 - 4\: \, x_2 \]

Gradiente:

\[ \nabla f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} -8 \\[0.5ex] -4 \end{pmatrix} \]

La figura mostra:

• Il gradiente calcolato in \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\): \(\nabla f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix} -8 \\[0.5ex] -4 \end{pmatrix}\) (freccia blu)

• Due insiemi di livello (linee blu tratteggiate): \(-8 x_1 -4 x_2 = 16\) e \(-8 x_1 -4 x_2 = 40\)

Esempio 1.3: grafici di funzioni lineari

Con \({\boldsymbol c}=\begin{pmatrix} 8\\ 4 \end{pmatrix}\), abbiamo \(f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}\right)=8\;x_1 + 4\;x_2\). Il suo grafico è:

Esempio 1.4: grafici di funzioni lineari

Con \({\boldsymbol c}=\begin{pmatrix} -8\\ -4 \end{pmatrix}\), abbiamo \(f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}\right)=-8\;x_1- 4\;x_2\). Il suo grafico è:

Laboratorio interattivo

Le idee del capitolo, da toccare con mano: muovi i cursori e trascina i punti. Ogni app si apre anche a tutta pagina nel laboratorio interattivo: Rette di livello.