9.9 Un modello PLI per il problema dello zaino multidimensionale¶

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Il problema dello zaino multidimensionale e la sua istanza di riferimento (Esempio 2.5) sono definiti nel Capitolo 2 «Problemi di zaino», Sezione 2.6.

Introduciamo le seguenti $n$ variabili binarie:

\[\begin{equation*} \label{BIN_VAR_MDKP} x_j = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{se l'oggetto $j$ è selezionato nello zaino}\\[1.5ex] 0 & \textrm{altrimenti} \end{array} \qquad \forall j \in \mathscr{I}. \right. \tag{9.26} \end{equation*}\]

Con queste variabili, un modello di programmazione lineare intera (PLI) per il problema dello zaino multidimensionale (MDKP) è il seguente:

\[\begin{align*} && \max \;\;{\sum_{j \in \mathscr{I}} p_j \, x_j} \label{obj_MDKP} \tag{9.27a}\\[1ex] && \text{soggetto a} \quad {\sum_{j \in \mathscr{I}} w_{dj} \, x_j} &\leq c_d, & \forall d \in \mathscr{D}, \label{cons1_MDKP} \tag{9.27b}\\[1ex] &&x_j &\in \{0,1\}, & \forall j \in \mathscr{I}. \label{cons2_MDKP} \tag{9.27c} \end{align*}\]

Questo modello PLI si chiama modello $\mathrm{ILP}_{\mathrm{MDKP}}$.

Descrizione della funzione obiettivo e dei vincoli del modello $\mathrm{ILP}_{\mathrm{MDKP}}$:
- la funzione obiettivo lineare $\eqref{obj_MDKP}$ massimizza il profitto totale degli oggetti selezionati nello zaino;
- i vincoli $\eqref{cons1_MDKP}$ garantiscono che, in ogni dimensione $d$, il peso totale degli oggetti selezionati non superi la capacità $c_d$ ($k$ vincoli lineari, uno per ogni dimensione);
- infine, i vincoli $\eqref{cons2_MDKP}$ definiscono le variabili del modello PLI.

Esempio 9.13: modello $\mathrm{ILP}_{\mathrm{MDKP}}$

Consideriamo uno zaino a $2$ dimensioni ($k = 2$) con capacità $c_1 = 10$ e $c_2 = 12$, e un insieme $\mathscr{I} = \{1,2,3,4\}$ di $4$ oggetti ($n = 4$), con i seguenti profitti e pesi:

\[ \begin{array}{l|rrrr} \hline & {j = 1} & {j = 2} & {j = 3} & {j = 4} \\ \hline {p_j} & {6} & {7} & {5} & {9} \\ {w_{1j}} & {4} & {5} & {3} & {7} \\ {w_{2j}} & {6} & {4} & {5} & {3} \\ \hline \end{array} \]

Questa è l'istanza del MDKP dell'Esempio 2.5. Il modello $\mathrm{ILP}_{\mathrm{MDKP}}$ per questa istanza è:

\[ \begin{array}{rrrrrrr} {\max} & 6 \, {x_1} & + 7 \, {x_2} & + 5 \, {x_3} & + 9 \, {x_4} \\[0.5ex] \text{soggetto a} & 4 \, {x_1} & + 5 \, {x_2} & + 3 \, {x_3} & + 7 \, {x_4} & {\le} & 10 \\[0.5ex] & 6 \, {x_1} & + 4 \, {x_2} & + 5 \, {x_3} & + 3 \, {x_4} & {\le} & 12 \\[0.5ex] & {x_1}, & {x_2}, & {x_3}, & {x_4} & { \in} & { \{0,1\}} \end{array} \]

Una soluzione ottima $~{\tilde{\vet x}}(\mathrm{ILP}_{\mathrm{MDKP}})$ è:

\[ \tilde x_1=0,~~\tilde x_2=0,~~\tilde x_3=1,~~\tilde x_4=1 \]

Il valore ottimo $z(\mathrm{ILP}_{\mathrm{MDKP}})$ è $14$. La soluzione ottima associata del MDKP è $\tilde{S} =\{3,4\}$, ed è l'unica soluzione ottima.

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